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1计时双基练二十四解三角形应用举例A组基础必做1．某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是3km，那么x的值为()A.3B．23C.3或23D．3解析如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或23。答案C2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．22kmB．32kmC．33kmD．23km解析如图，由条件知AB＝24×1560＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°。由正弦定理知BSsin30°＝ABsin45°，所以BS＝ABsin45°sin30°＝32。答案B3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()2A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102(海里)。答案A4．如图所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()A.2315B.516C.23116D.115解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π。由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝516，所以sinα＝23116，所以tanα＝sinαcosα＝2315。答案A5.如图，在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()3A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m解析∵在△ACE中，tan30°＝CEAE＝CM－10AE。∴AE＝CM－10tan30°m。∵在△AED中，tan45°＝DEAE＝CM＋10AE，∴AE＝CM＋10tan45°m，∴CM－10tan30°＝CM＋10tan45°，∴CM＝3＋3－1＝10(2＋3)≈37.3m。答案C6.如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比。现已知墙角AOB的度数为120°，当△AOB的面积为3时，就可起到保护作用。则当围栏的造价最低时，∠ABO＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析只要AB的长度最小，围栏的造价就最低。设OA＝a，OB＝b，则由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，又S△AOB＝12absin120°＝3，所以ab＝4。故AB2≥12，即AB的最小值为23。由a＝b及3ab＝12，得a＝b＝2。由正弦定理得sin∠ABO＝asin120°AB＝223×32＝12。故∠ABO＝30°，故选A。答案A7．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的高是________m。解析4如图，依题意甲楼高度AB＝20tan60°＝203，又CM＝DB＝20m，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·1tan60°＝2033m，所以乙楼的高CD＝203－2033＝4033m。答案40338．(2015—2016学年度上学期衡水中学高三年级六调考试)为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的A地测得塔尖的仰角为45°，沿着A向北偏东30°前进100米到达B地(假设A和B在海拔相同的地面上)，在B地测得塔尖的仰角为30°，则塔高为________米。解析如图所示，CD为古塔的高度，设为hm，由题意得，CD平面ABD，AB＝100米，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，在△CBD中，BD＝3hm，在△CAD中，AD＝hm，在△ABD中，BD＝3hm，AD＝hm，AB＝100m，∠BAD＝60°，∴3h2＝10000＋h2－2×100hcos60°，解得h＝50或－100(舍)，∴塔高为50米。答案509．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m。解析如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝5900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)。答案10310．(2015·陕西省安康市高三上学期调研)如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得距离C为31千米的公路上的B处有一辆车正沿着公路向城A驶去，该车行驶了20千米后到达D处停下，此时测得C，D两处的距离为21千米。(1)求cos∠CDB的值；(2)此车在D处停下时距城A多少千米？解(1)由题可知CD＝21，BD＝20，BC＝31，在△CDB中，由余弦定理得：cos∠CDB＝CD2＋BD2－BC22CD×BD＝212＋202－3122×21×20＝－17。(2)由(1)知，cos∠CDB＝－17，∴sin∠CDB＝1－cos2∠CDB＝437。∴sin∠ACD＝sin(∠CDB－60°)＝sin∠CDB·cos60°－cos∠CDB·sin60°＝5314。∴在△ACD中，由正弦定理得：AD＝CDsin∠ACDsin∠CAD＝21×531432＝15，即此车在D处停下时距城A15千米。11．(2016·广州模拟)在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A的北偏东45°且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点6A的北偏东(45°＋θ)(其中sinθ＝2626，0°θ90°)且与点A相距1013海里的位置C。(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶。判断它是否会进入警戒水域，并说明理由。解(1)如图所示，AB＝402，AC＝1013，∠BAC＝θ，sinθ＝2626。因为0°θ90°，所以cosθ＝1－26262＝52626，BC＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosθ＝105。所以该船的行驶速度为10523＝155海里/小时。(2)解法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D。由题设，得x1＝y1＝22AB＝40，x2＝ACcos∠CAD＝1013·cos(45°－θ)＝30，y2＝ACsin∠CAD＝1013·sin(45°－θ)＝20。所以过点B，C的直线l的斜率k＝2010＝2，直线l的方程为y＝2x－40。又点E(0，－55)到直线l的距离7d＝|0＋55－40|1＋4＝357，所以船会进入警戒水域。解法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q。在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010。所以sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝1－910＝1010。在△ABQ中，由正弦定理，得AQ＝AB·sin∠ABC－∠ABC＝402×101022×21010＝40。由于AE＝5540＝AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE＝AE－AQ＝15。过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离。在Rt△QPE中，PE＝QE·sin∠PQE＝QE·sin∠AQC＝QE·sin(45°－∠ABC)＝15×55＝357。所以船会进入警戒水域。B组培优演练1．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km解析∵AB＝1000×160＝503km，∴BC＝ABsin45°·sin30°＝5032km，8∴航线离山顶h＝5032×sin75°≈11.4km。∴山高为18－11.4＝6.6km。答案B2．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练。已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小。(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)。若AB＝15cm，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是()A.305B.3010C.439D.539解析由于AB⊥BC，AB＝15m，AC＝25m，所以BC＝252－152＝20m。过点P作PN⊥BC交BC于N，连接AN(如图)，则∠PAN＝θ，tanθ＝PNAN。设NC＝x(x0)，则BN＝20－x，于是AN＝AB2＋BN2＝152＋－x2＝x2－40x＋625，PN＝NC·tan30°＝33x，所以tanθ＝33xx2－40x＋6259＝331－40x＋625x2＝33625x2－40x＋1，令1x＝t，则625x2－40x＋1＝625t2－40t＋1，当t＝4125时，625t2－40t＋1取最小值925，因此625x2－40x＋1的最小值为925＝35，这时tanθ的最大值为33×53＝539(此时x＝1254)。故选D。答案D3.如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)。如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解设∠AMN＝θ，在△AMN中，MNsin60°＝AM－θ。因为MN＝2，所以AM＝433sin(120°－θ)。在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)。AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝163sin2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0,120°)。10当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值23。