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1第9节函数模型及其应用【选题明细表】知识点、方法题号利用函数图像刻画实际问题1,2,12二次函数模型3,5,9指、对函数模型4,7,8,10,11分段函数模型6,13,14模型的选取与求解15基础对点练(时间:30分钟)1.(2015江西九江二模)一个游泳池长100m,甲、乙两人分别在游泳池相对两边同时朝对面游泳,甲的速度是2m/s,乙的速度是1m/s,若不计转向时间,则从开始起到5min止,他们相遇的次数为(B)(A)6(B)5(C)4(D)3解析:设距离m为甲、乙所在位置与乙岸的距离,实线为甲函数m1(t)的图像,虚线为乙函数m2(t)的图像,如图所示,两曲线共有5个交点.2.(2016忻州模拟)a,b,c,d四个物体沿同一方向同时在同一地点开始运动,假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=,f3(x)=log2x,f4(x)=2x.如果运动的时间足够长,则运动在最前面的物体一定是(D)(A)a(B)b(C)c(D)d解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数,当运动的时间足够长,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体,即一定是d物体.3.(2015抚顺模拟)某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌的汽车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售16辆这种品牌汽车,则能获得的最大利润是(C)(A)10.5万元(B)11万元(C)43万元(D)43.025万元解析:设在A地销售t辆,由题利润y=4.1t-0.1t2+2(16-t)=-0.1t2+2.1t+32=-0.1（t-）2+32+,2当t=10或t=11时,有最大利润y=43.4.某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog3(x+1),设这种动物第2年有100只,则到第8年它们有(A)(A)200只(B)300只(C)400只(D)500只解析:由已知得100=alog3(2+1),得a=100,则当x=8时,y=100log3(8+1)=200(只).5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为(A)(A)x=15,y=12(B)x=12,y=15(C)x=14,y=10(D)x=10,y=14解析:由三角形相似得=,得x=(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.6.小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要门面装修费为20000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系式是R=R(x)=则总利润最大时,该门面经营的天数是(D)(A)100(B)150(C)200(D)300解析:由题意,知总成本C=20000+100x.所以总利润P=R-C=则P′=令P′=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.7.(2016商丘模拟)为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:3明文密文密文明文已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为6,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是.解析:依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密为y=2x-2.因此,当y=14时,由14=2x-2,解得x=4.答案:48.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,此人至少经过小时后才能开车.(精确到1小时)解析:设经过x小时才能开车,由题意得0.3(1-25%)x≤0.09,所以0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.所以此人至少经过5小时后才能开车.答案:59.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知分别投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系;(2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?解:(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20-x)万元.依题意得y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20).令t=(0≤t≤2),4则y=+t=-(t-2)2+3,所以当t=2,即x=16时,收益最大,即投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时,收益最大,最大收益为3万元.10.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)最多能砍伐多少年?解:(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0x1).则a(1-x)10=a,即(1-x)10=,解得x=1-（）.(2)设能砍伐n年.由题得a｛1-[1-()]｝n≥a.即()≥.所以n≤20.即最多能砍伐20年.能力提升练(时间:15分钟)11.(2015枣庄模拟)衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为a,经过t天后体积与天数t的关系式为V=a·e-kt,若新丸经过50天后,体积变为a;若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为(A)(A)75天(B)100天(C)125天(D)150天解析:由题意,得a=ae-50k,解得e-25k=;令ae-kt=a,5即e-kt===e-75k,即需经过的天数为75天.12.(2015榆林月考)图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成,函数S=S(a)(a≥0)是图形M介于平行线y=0及y=a之间的那一部分面积,则函数S(a)的图像大致是(C)解析:直线y=a在[0,1]上平移时S(a)的变化量越来越小,排除A,B.而S(a)在[1,2]上的变化量比在[2,3]上的变化量大,排除D.13.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游,其中旅行社的包机费为30000元,旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数在30或30以下,飞机票每张收费1800元.若旅游团的人数多于30人,则给予优惠,每多1人,机票费每张减少20元,但旅游团的人数最多有75人,那么旅游团的人数为人时,旅行社获得的利润最大.解析:设旅游团的人数为x人,飞机票每张为y元,利润为Q元,依题意,①当1≤x≤30时,y=1800元,此时利润Q=yx-30000=1800x-30000,此时,当x=30时,Qmax=1800×30-30000=24000(元);②当30x≤75时,y=1800-20(x-30)=-20x+2400,此时利润Q=yx-30000=-20x2+2400x-30000=-20(x-60)2+42000,所以当x=60时,旅行社可获得的最大利润为42000元.综上,当旅游团的人数为60人时,旅行社获得的利润最大.答案:60614.(2015长春模拟)某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后,y与t之间的函数关系式y=f(t);(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间是多长?解:(1)由题意可设y=当t=1时,由y=4得,k=4.由()1-a=4得,a=3.因此,y=(2)由y≥0.25得,或解得≤t≤5.因此,服药一次后治疗有效的时间是5-=小时.15.(2015北京石景山模拟)某机床厂2016年年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用.计划第一年维修、保养费用12万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元;该机床使用后,每年的总收入为50万元.设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)使用若干年后,对机床的处理方案有两种:方案一:当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理该机床;方案二:当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.请你研究一下哪种方案处理较为合理?并说明理由.解:(1)y=50x-[12x+×4]-987=-2x2+40x-98(x0).(2)方案一:=-2x+40-=40-(2x+),因为2x+≥2=28,所以=40-(2x+)≤12.当且仅当2x=,即x=7时等号成立;故到2023年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利12×7+30=114(万元).方案二:y=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102,当x=10时,y有最大值102;故到2026年,盈利额达到最大值,工厂共获利102+12=114(万元).盈利额达到的最大值相同,而方案一所用的时间较短,故方案一较为合理.精彩5分钟1.(2015青岛质检)牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y=kax,若牛奶在0℃的冰箱中,保鲜时间约为100h,在5℃的冰箱中,保鲜时间约为80h,那么在10℃时保鲜时间约为(C)(A)49h(B)56h(C)64h(D)72h解题关键:根据已知条件求得k,a,然后再进行计算.解析:由得k=100,a5=,当10℃时,保鲜时间为100·a10=100·()2=64.2.(2015龙岩高三模拟)某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌新墙所用材料最省时,堆料场的长和宽的比为(B)(A)1(B)2(C)(D)解题方法:本题借助“对勾”函数的图像利用数形结合求解.解析:设宽为x,长为kx,则kx2=512,用料为y=(k+2)x=(+2)x=2(+x)≥4=64(当且仅当x=16时取“=”),所以k==2.83.(2015潍坊模拟)某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100kg)与上市时间t(单位:天)的数据如表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系.Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt利用你选取的函数,求得(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是;(2)最低种植成本是(元/100kg).解题关键:本题的解题关键是根据数据正确选取函数模型.解析:根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at2+bt+c且开口向上,对称轴t=-==120.代入数据得所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120.最低种植成本是14400a+120b+c=14400×0.01+120×(-2.4)+224=80.答案:(1)120(2)80