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第4讲古典概型与几何概型考纲要求考点分布考情风向标1.古典概型.(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.2.随机数与几何概型.(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.(2)了解几何概型的意义2011年新课标卷考查古典概型；2013年新课标卷Ⅰ考查古典概型；2014年新课标卷Ⅰ考查古典概型；2014年新课标卷Ⅱ查古典概型；2015年新课标卷Ⅰ考查古典概型；2015年福建卷考查几何概型与微积分相结合；2015年湖北卷考查几何概型与微积分相结合1.解决古典概型概率问题的关键是明确事件的类型及其相互关系，以及针对不同类型的事件灵活地选择相应的方法和公式，列举法、树状图法及列表法是解决古典概型概率问题的有效辅助手段，备考时要认真体会、把握和运用.2.新课标高考对几何概型的要求较低，以选择题或填空题为主.复习时，准确理解几何概型的意义、构造出度量区域(长度或面积)是解决几何概型问题的关键1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性______.相等3.古典概型的概率公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出模型即为古典概型.如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝_______.现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n.该概率mn4.几何概型长度如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_______(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.5.几何概型中，事件A的概率计算公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积区域的全部结果所构成的区域长度面积或体积.6.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.注意：①几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关；②求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解.(4,5)，共10种.∴P＝1.(2013年新课标Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是_____.0.2解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，210＝0.2.＝.2.(2013年新课标Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()BA.12B.13C.14D.16解析：从1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共12种情形，而满足条件“2个数之差的绝对值为2”的只有(1,3)，(2,4)，(3,1)，(4,2)，共4种情形，所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率为411233.(2013年福建)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－10”发生的概率为______.解析：这是对几何概型的考查.事件“3a－10”发生的概率可转化为长度之比，则a13在0～1中对应的长度为23，故概率为23.234.如图9-4-1的矩形，长为5，宽为2.在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗.则我们可以估计出阴影部分的面积为_______.图9-4-1235考点1古典概型例1：(1)(2015年新课标Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120解析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C.答案：C(2)(2014年新课标Ⅰ)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为.解析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语；数1，语，数2；数2，数1，语；数2，语，数1；语，数2，数1；语，数1，数2共有6种，其中2本数答案：23学书相邻的有4种，则其概率为：P＝46＝23.【规律方法】本题是考查古典概型，利用公式P(A)＝.古mn典概型必须明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n必须是有限个；②出现的所有不同的试验结果数m其可能性大小必须是相同的.解决这类问题的关键是列举做到不重不漏.【互动探究】1.(2014年江西)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()BA.118B.19C.16D.112解析：掷两颗均匀的骰子，点数的可能情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，此问题中含有36个等可能基本事件，点数之和为5的概率有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)4种，因此所求概率为436＝19.2.(2014年湖北)随机投掷两枚均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为P1，点数之和大于5的概率为P2，点数之和为偶数的概率为P3，则()CA.P1＜P2＜P3B.P2＜P1＜P3C.P1＜P3＜P2D.P3＜P1＜P2解析：依题意，P1＝1036，P2＝1－1036＝2636，P3＝1836，所以P1＜P3＜P2.故选C.△PBC的面积不小于的概率是(考点2几何概型例2：(1)在面积为S的△ABC的边AB上任取一点，则)A.23B.13C.34D.143S图D62答案：A解析：取AB的三等分点P，如图D62，如果在线段BP上取点，△PBC的面积小于S3；如果在线段AP上取点，△PBC的面积不小于S3，所以所求概率为p＝APAB＝23.于的概率为(2)向面积为S的△ABC内任投一点，则PPBC的面积小.解析：取AB，AC的中点E，F，如图D63，如果点P在线段EF上，△PBC的面积EF下方(即四边形EFCB内)，△PBC的面积答案：34图D632S等于S2；如果点P在线段EF上方(即△AEF内)，△PBC的面积大于S2；如果点P在线段小于S2.所以所求概率为p＝EFCBABCSS四边形＝34.(3)如图9-4-2，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱椎A-A1BD内的概率为.图9-4-2答案：16解析：因为1AABDV＝1AABDV＝13S△ABDAA1＝16S矩形ABCDAA1＝16V长方体，故所求概率为1AABDVV长方体＝16.(4)(2015年湖北)在区间[0,1］上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥12”的概率，p2为事件“|x－y|≤12”的概率，p3为事件“xy≤12”的概率，则()A.p1p2p3B.p2p3p1C.p3p1p2D.p3p2p1解析：因为x，y∈[0,1］，对事件“x＋y≥12”，如图D64(1)阴影部分S1，对事件“|x－y|≤12”，如图D64(2)阴影部分S2，对于事件“xy≤12”，如图D64(3)阴影部分S3，由图知，阴影部分的面积从小到大依次是S2S3S1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型公式可得p2p3p1.(1)(2)(3)图D64答案：B【规律方法】应用几何概型求概率的步骤：①把每一次试验当作一个事件，看事件是否是等可能的且事件的个数是否是无限个，若是则考虑用几何概型；②将试验构成的区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量；③将几何概型转化为长度、面积、体积之比，应用几何概型的概率公式求概率.【互动探究】3.(2014年辽宁)若将一个质点随机投入如图9-4-3所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()图9-4-3BA.π2B.π4C.π6D.π8解析：质点落在以AB为直径的半圆内的概率p＝12×π×121×2＝π4.考点3与线性规划有关的几何概型例3：甲、乙两人约定上午9时至12时在某地点见面，并约定任何一个人先到之后等另一个人不超过一个小时，一小时之内若对方不来，则离去.如果他们两人在9时到12时之间的任何时刻到达约定地点的概率都是相等的，求他们见到面的概率.思维点拨：(1)考虑甲、乙两人分别到达某处的时间.在平面直角坐标系内分别用x轴、y轴表示甲、乙到达约定地点的时间，用0时到3时表示9时至12时的时间段，则试验发生包含的条件是{(x，y)|0x3,0y3}.(2)两人能会面的时间必须满足|x－y|＜1.这就将问题化归为几何概型问题.解：设9时后过了x小时甲到达，9时后过了y小时乙到达，取点Q(x，y)，则0x3,0y3.两人见到面的充要条件是|x－y|1.如图9-4-4，作出两部分对应图形的区域，得所求概率是图9-4-4【规律方法】将随机事件转化为面积之比时，要注意总的基本事件和所求事件分别表示的区域.p＝32－2×12×2232＝59.【互动探究】4.(2014年重庆，由人教版必修3P137例2改编)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_______.(用数字作答)解析：用x表示小王到校的时间，30≤x≤50，用y表示小张到校的时间，30≤y≤50，则所有可能的结果对应如图D65所示的直角坐标系中的正方形ABCD区域，小张比小王至少早5分钟到校，即x－y≥5，所对应的区域为答案：932图D65△BEF.所以p＝BEFABCDSS正方形＝12×15×1520×20＝932.易错、易混、易漏⊙几何概型中容易混淆几何量的比例题：(1)在直角三角形ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，则使|AM||AC|的概率为()A.13B.16C.2－32D.34正解：如图9-4-5，取AD＝AC，∠A＝30°，此时∠ACD＝75°，则∠BCD＝15°.欲使|AM||AC|，CM必须在∠BCD内，其图9-4-5概率为15°90°＝16.答案：B(2)在直角三角形ABC中，∠A＝30°，在斜边AB上任取一点M，则使|AM||AC|的概率为()答案：CA.13B.16C.2－32D.34正解：如图945，AD＝AC，∠A＝30°，欲使|AM||AC|，点M必须在线段BD内.设BC＝x，则AB＝2x，AD＝AC＝3x，BD＝(2－3)x.所求概率为2－32.【失误与防范】请注意两题的区别“过直角顶点C作射线CM交线段AB于M”与“在斜边AB上任取一点M”，前者CM在直角内等可能，结果应该为角度的比；后者M为斜边AB上任一点，结果应该为斜边AB上的长度比.1.几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型，二者的共同点是基本事件都是等可能的，不同点是基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的.对于古典概型问题，处理基本事件的数量是关键，而对于几何概型中的概率问题转化为长度、面积或体积之比是关键.2.古典概型中的基本事件的数量容易计算出，如果能直接列