2015年步步高二轮复习-专题八第4讲转化与化归思想

第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．1．转化与化归的指导思想(1)把什么问题进行转化，即化归对象．(2)化归到何处去，即化归目标．(3)如何进行化归，即化归方法．化归与转化思想是一切数学思想方法的核心．2．常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一特殊与一般的转化例1(1)AB是过抛物线x2＝4y的焦点的动弦，直线l1，l2是抛物线两条分别切于A，B的切线，则l1，l2的交点的纵坐标为()A．－1B．－4C．－14D．－116(2)已知函数f(x)＝axax＋a(a0且a≠1)，则f1100＋f2100＋…＋f99100的值为________．答案(1)A(2)992解析(1)找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝1，则A(－2，1)，B(2,1)，过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0.同理，过点B的切线方程为x－y－1＝0，则l1，l2的交点为(0，－1)．(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律，∵f(x)＋f(1－x)＝axax＋a＋a1－xa1－x＋a＝axax＋a＋aa＋axa＝axax＋a＋aa＋ax＝a＋axax＋a＝1，∴f1100＋f2100＋…＋f99100＝f1100＋f99100＋f2100＋f98100＋…＋f49100＋f51100＋f50100＝1×49＋12＝992.思维升华一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f52＝________.答案(1)45(2)0解析(1)根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算．令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝45，cosC＝0，代入所求式子，得cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45＋01＋45×0＝45.(2)因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，所以fx＋1fx＝1＋xx，使f(x)特殊化，可设f(x)＝xg(x)，其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化，可设g(x)＝sin2πx，则f(x)＝xsin2πx，经验证f(x)＝xsin2πx满足题意，则f52＝0.热点二函数、方程、不等式之间的转化例2(1)定义运算：(ab)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于x的不等式(ab)⊗x0的解集为{x|1x2}，则关于x的不等式(ba)⊗x0的解集为()A．(1,2)B．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.－23，1D.－∞，－23∪(1，＋∞)(2)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m1，都有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．答案(1)D(2)3解析(1)1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，1＋2＝－ba，1×2＝2a，解得a＝1，b＝－3，由(－31)⊗x＝－3x2＋x＋20，得3x2－x－20，解得x－23或x1.(2)因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋lnx－x.所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋lnx－x对任意x∈[1，m]恒成立．令h(x)＝1＋lnx－x(x≥1)．因为h′(x)＝1x－1≤0，所以函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，又x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋lnm－m.所以要使得对x∈[1，m]，t值恒存在，只须1＋lnm－m≥－1.因为h(3)＝ln3－2＝ln(1e·3e)ln1e＝－1，h(4)＝ln4－3＝ln(1e·4e2)ln1e＝－1，且函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3.思维升华函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．(1)若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．(2)设f(x)是定义在R上的单调增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为______________．答案(1)(－∞，－8](2)(－∞，－1]∪[0，＋∞)解析(1)设t＝3x，则原命题等价于关于t的方程t2＋(4＋a)t＋4＝0有正解，分离变量a得a＋4＝－t＋4t，∵t0，∴－t＋4t≤－4，∴a≤－8，即实数a的取值范围是(－∞，－8]．(2)∵f(x)在R上是增函数，∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)，可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]，∴a(x－1)＋x2＋1≥0，对a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，则当且仅当g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0恒成立，解之，得x≥0或x≤－1.故实数x的取值范围为x≤－1或x≥0.热点三正难则反的转化例3若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________．答案－373m－5解析g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥2x－3x在x∈(t,3)上恒成立，所以m＋4≥2t－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；由②得m＋4≤2x－3x在x∈(t,3)上恒成立，则m＋4≤23－9，即m≤－373.所以，函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为－373m－5.思维升华否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c，使得f(c)0，求实数p的取值范围．解如果在[－1,1]内没有值满足f(c)0，则f－1≤0，f1≤0⇒p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32⇒p≤－3或p≥32，取补集为－3p32，即为满足条件的p的取值范围．故实数p的取值范围为(－3，32)．将问题进行化归与转化时，一般应遵循以下几种原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题．(2)简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．(3)直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何问题向平面几何问题转化)．(4)正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.错误!未找到引用源。真题感悟1．(2014·山东)设集合A＝{x||x－1|2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B等于()A．[0,2]B．(1,3)C．[1,3)D．(1,4)答案C解析由|x－1|2，解得－1x3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，所以A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．2．(2014·安徽)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤xπ时，f(x)＝0，则f23π6等于()A.12B.32C．0D．－12答案A解析∵f(x＋π)＝f(x)＋sinx，∴f(x＋2π)＝f(x＋π)－sinx.∴f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．∴f(x)是以2π为周期的周期函数．又f(23π6)＝f(4π－π6)＝f(－π6)，f－π6＋π＝f－π6＋sin－π6，∴f5π6＝f－π6－12.∵当0≤xπ时，f(x)＝0，∴f5π6＝0，∴f23π6＝f－π6＝12.故选A.3．(2014·陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________．答案x2＋(y－1)2＝1解析圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.4．(2014·山东)已知实数x，y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋11y2＋1B．ln(x2＋1)ln(y2＋1)C．sinxsinyD．x3y3答案D解析因为0a1，axay，所以xy.采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，121，A不成立．B中，当x＝0，y＝－1时，ln1ln2，B不成立．C中，当x＝0，y＝－π时，sinx＝siny＝0，C不成立．D中，因为函数y＝x3在R上是增函数，故选D.押题精练1．已知函数f(x)＝|ex＋aex|(a∈R，e是自然对数的底数)在区间[0,1]上单调递增，则a的取值范围是()A．[0,1]B．[－1,0]C．[－1,1]D．(－∞，－e2]∪[e2，＋∞)答案C解析因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，取a＝－1，则函数f(x)＝ex－1ex，当0≤x≤1时，f′(x)＝ex＋1ex0，所以函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，排除A，D；取a＝1