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第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,3,5,6,7,11与面积相关的问题4,8,10,12,14判断三角形的形状2,9实际应用问题及综合问题13,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2016石景山区模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=4,b=4,A=30°,则B等于(B)(A)60°(B)60°或120°(C)30°(D)30°或150°解析:因为a=4,b=4,A=30°,由正弦定理=⇒sinB==,因为B是三角形的内角,且ba,所以B=60°或120°.2.(2015广州四校联考)在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是(C)(A)直角三角形(B)等腰直角三角形(C)等腰三角形(D)正三角形解析:在三角形中,2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB⇒sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0,所以A=B,即三角形为等腰三角形.3.(2015高考广东卷)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cosA=且bc,则b等于(C)(A)3(B)2(C)2(D)解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由bc,得b=2.4.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则BC的长为(B)(A)(B)(C)2(D)2解析:S=AB·ACsin60°=×2×AC=,所以AC=1,所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos60°=3,所以BC=.5.(2015兰州质检)在△ABC中,B=,AB=,BC=3,则sinA等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为B=,c=,a=3,b2=a2+c2-2accosB,所以b=,根据正弦定理=⇒sinA==.6.(2015合肥模拟)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为3sinA=5sinB,所以由正弦定理可得3a=5b,所以a=b.因为b+c=2a,所以c=b,所以cosC==-.因为C∈(0,π),所以C=.7.(2015高考福建卷)若△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC=.解析:在△ABC中,因为AC=,A=45°,C=75°,所以B=60°.根据正弦定理=,得=,解得BC=.答案:8.在▱ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则▱ABCD的面积为.解析:▱ABCD的面积S=2S△ABD=AB·AD·sin∠BAD=6×3sin60°=9.答案:99.设△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且(+)·=0,则△ABC的形状是.解析:由题得2B=A+C,3B=π得B=,设AC中点D,则(+)·=2·=0,即⊥得a=c.所以△ABC为等腰三角形,又因为B=,所以△ABC为等边三角形.答案:等边三角形10.(2015高考新课标全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.解:(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB==.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=.所以△ABC的面积为1.11.(2015黑龙江四校联考)△ABC的三个内角A,B,C对应的三条边长分别是a,b,c,且满足csinA+acosC=0.(1)求C的值;(2)若cosA=,c=5,求sinB和b的值.解:(1)因为csinA+acosC=0,由正弦定理得2RsinCsinA+2RsinAcosC=0,由sinA≠0,所以tanC=-,又C∈(0,π),所以C=.(2)由cosA=,A∈(0,),得sinA==,sinB=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×(-)+×=.由=,得b==3-4.能力提升练(时间:15分钟)12.(2015武威一中模拟)在△ABC中,如果a+c=2b,B=30°,△ABC的面积为,那么b等于(B)(A)(B)1+(C)(D)2+解析:由三角形面积公式S△ABC=acsinB=ac=,所以ac=6,由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-6,而已知4b2=(a+c)2=a2+c2+12,两个式子作差得到3b2=12+6,所以b=1+.13.(2015济南模拟)在200米高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为(C)(A)m(B)m(C)m(D)m解析:如图,设AB表示山高,CD表示塔高,则∠DBC=60°-30°=30°,∠ABC=90°-60°=30°,连接AC,在Rt△BAC中,cos∠ABC=,所以BC===,在△BDC中,∠DBC=30°,∠DCB=90°-60°=30°,所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=120°,由正弦定理得,=,故DC==.14.(2016漳州模拟)在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知角C=120°,c=4,三角形的面积S=,则a+b=.解析:由题意得即所以(a+b)2-ab=16,即(a+b)2=20,因为a,b0,所以a+b=2.答案:215.(2015高考山东卷)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cosB=,sin(A+B)=,ac=2,求sinA和c的值.解:在△ABC中,由cosB=,得sinB=,因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B)=.因为sinCsinB,所以CB,可知C为锐角,所以cosC=,因此sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=.由=,可得a===2c.又ac=2,所以c=1.16.某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面C和D处,已知CD=6km,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时,测量得∠BCD=30°,∠BDC=15°,如图,求炮兵阵地到目标的距离.解:在△ACD中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°,CD=6,∠ACD=45°,根据正弦定理得AD==CD.同理,在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,CD=6,∠BCD=30°,根据正弦定理得BD==CD.又在△ABD中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°,根据勾股定理有AB==CD=CD=(km).所以炮兵阵地到目标的距离为km.精彩5分钟1.(2015浏阳一中模拟)已知△ABC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若cosB=,b=2,sinC=2sinA,则△ABC的面积为(B)(A)(B)(C)(D)解题关键:关键求a,c,选用△ABC面积公式S△ABC=acsinB.解析:由正弦定理=,得c=2a,①由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得4=a2+c2-2ac×,②由①②得a=1,c=2,又sinB==,所以S△ABC=acsinB=×1×2×=.2.(2014高考江苏卷)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.解题关键:关键由sinA+sinB=2sinC转化为边关系,再由余弦定理化为两边代数式,运用基本不等式.解析:由正弦定理可得a+b=2c,又cosC===≥=,当且仅当a=b时取等号,所以cosC的最小值是.答案:3.(2015临沂模拟)某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为小时.解题关键:首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列方程求解.解析:如图,设舰艇在B′处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB′=21t,CB′=9t,在△AB′C中,根据余弦定理,则有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos120°,可得212t2=102+81t2+2×10×9t×,整理得360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去).故舰艇需小时靠近渔轮.答案: