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2017年高考数学基础突破——集合与函数9．函数的图象与性质的综合应用（学生版，后附教师版）【知识梳理】1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.(2)对称变换(3)伸缩变换【基础考点突破】考点1.作函数的图像【例1】作出下列函数的图像：(1)y＝2－xx＋1；(2)y＝（12）|x＋1|；(3)y＝|log2x－1|.【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋1x的函数；(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y＝2x＋2；(2)y＝ln(1－x)．考点2.图象识别【例2】(1)若函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则函数y＝f(x＋1)的大致图像是()(2)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是()【归纳总结】识图常用的方法如下．(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题．(2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．变式训练2.(1)函数y＝xsinx在区间[－π，π]上的大致图像是()(2)[2013·四川卷]函数y＝x33x－1的图像大致是()【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.考点3.函数图像的应用命题点1.确定方程根的个数【例3】已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()A.10个B.9个C.8个D.7个【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.变式训练3.已知f(x)＝|lgx|，x0，2|x|，x≤0，则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数是________．命题点2.求参数的取值范围【例4】已知a0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，恒有f(x)12，则实数a的取值范围是________．命题点3.求不等式的解集【例5】已知函数y＝f(x)的图像是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)f(－x)－2x的解集是________．【基础练习】1.(2016·广州一调)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是()A.y＝(x－3)2＋3B.y＝(x－3)2＋1C.y＝(x－1)2＋3D.y＝(x－1)2＋12.函数y＝1－1x－1的图象是()3.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是()A.(－1，0)B.[－1，0)C.(－2，0)D.[－2，0)4.函数y＝xsinx在[－π，π]上的图象是()5.(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a0，b0，c0B.a0，b0，c0C.a0，b0，c0D.a0，b0，c06.点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是()7.(2014·新课标全国Ⅰ卷)如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图象大致为()8.设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A.－1B.1C.2D.49.已知函数f(x)＝x2＋2x－1，x≥0，x2－2x－1，x0，则对任意x1，x2∈R，若0|x1||x2|，下列不等式成立的是()A.f(x1)＋f(x2)0B.f(x1)＋f(x2)0C.f(x1)－f(x2)0D.f(x1)－f(x2)010.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()11.设奇函数f(x)的定义域为[－5，5].若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________.12.在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________.13.设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________.14.已知函数f(x)＝log2x（x＞0），2x（x≤0），且关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则实数a的取值范围是____.15.已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围.16.当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2＜logax恒成立，求实数a的取值范围.17.(1)已知函数y＝f(x)的定义域为R，且当x∈R时，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求证y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称；(2)若函数y＝log2|ax－1|的图象的对称轴是x＝2，求非零实数a的值.2017年高考数学基础突破——集合与函数9．函数的图象与性质的综合应用（教师版）【知识梳理】1.利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线.首先：(1)确定函数的定义域，(2)化简函数解析式，(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等).其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减.(2)对称变换(3)伸缩变换【基础考点突破】考点1.作函数的图像【例1】作出下列函数的图像：(1)y＝2－xx＋1；(2)y＝（12）|x＋1|；(3)y＝|log2x－1|.【解析】(1)易知函数的定义域为{x∈R|x≠－1}．y＝2－xx＋1＝－1＋3x＋1，因此由y＝3x的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度即可得到函数y＝2－xx＋1的图像，如图①所示．(2)先作出y＝(12)x，x∈[0，＋∞)的图像，然后作其关于y轴的对称图像，再将整个图像向左平移1个单位长度，即得到y＝(12)|x＋1|的图像，如图②所示．(3)先作出y＝log2x的图像，再将图像向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图像翻折到x轴上方来，即得到y＝|log2x－1|的图像，如图③所示．【总结反思】为了正确作出函数的图像，除了掌握“列表、描点、连线”的方法外，还要做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图像，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数以及形如y＝x＋1x的函数；(2)掌握常用的图像变换方法，如平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等．变式训练1.分别作出下列函数的图像：(1)y＝2x＋2；(2)y＝ln(1－x)．【解析】(1)将y＝2x的图像向左平移2个单位长度，即得到函数y＝2x＋2的图像，如图①所示．(2)作出函数y＝lnx的图像，将y＝lnx的图像以y轴为对称轴翻折，得到函数y＝ln(－x)的图像，再将y＝ln(－x)的图像向右平移1个单位长度，得到函数y＝ln(1－x)的图像，如图②所示．考点2.图象识别【例2】(1)若函数f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1，则函数y＝f(x＋1)的大致图像是()(2)[2013·湖北卷]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是()【答案】(1)B(2)C【解析】(1)作出f(x)＝3x，x≤1，log13x，x1的图像如图所示，再把f(x)的图像向左平移一个单位长度，可得到函数y＝f(x＋1)的图像．故选B.(2)由题意可知函数图像最开始为“斜率为负的线段”，接着为“与x轴平行的线段”，最后为“斜率为负值，且小于之前斜率的线段”．观察选项中图像可知，C项符合．【归纳总结】识图常用的方法如下．(1)定性分析法：通过对问题进行定性分析，结合函数的单调性、对称性等解决问题．(2)定量计算法：通过定量(如特殊点、特殊值)的计算，来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，结合实际问题的含义以及相关函数模型分析解决问题．变式训练2.(1)函数y＝xsinx在区间[－π，π]上的大致图像是()(2)[2013·四川卷]函数y＝x33x－1的图像大致是()【解析】(1)容易判断函数y＝xsinx为偶函数，可排除D.当0＜x＜π2时，y＝xsinx＞0，当x＝π时，y＝0，可排除B，C.故选A.(2)函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A；当x0时，x30，3x－10，故y0，排除选项B；当x→＋∞时，y0且y→0，故为选项C中的图像．【归纳总结】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项.考点3.函数图像的应用命题点1.确定方程根的个数【例3】已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有()A.10个B.9个C.8个D.7个【答案】A【解析】根据f(x)的性质及f(x)在[－1，1]上的解析式可作图如下：可验证当x＝10时，y＝|lg10|＝1；当x＞10时，|lgx|＞1.因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lgx|的图象交点共有10个.【归纳总结】当某些方程求解很复杂时，可以考虑利用函数的图象判断解的个数，即将方程解的个数问题转化为两个函数图象的交点问题，对应图象有几个交点，则方程有几个解.变式训练3.已知f(x)＝|lgx|，x0，2|x|，x≤0，则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数是________．【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝12或f(x)＝1.作出y＝f(x)的图像，由图像知f(x)＝12有2个解，f(x)＝1有3个解，所以原方程解的个数为5.命题点2.求参数的取值范围【例4】已知a0，且a≠1，f(x)＝x2－ax，当x∈(－1，1)时，恒有f(x)12，则实数a的取值范围是________