B08-09

郑州轻工业学院2008—2009学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷B卷得分评卷人一、简答题（每小题8分，共32分）1.德布罗意关系2．波函数的统计解释及波函数的标准条件3.全同性原理和泡利不相容原理4.试描述史特恩-盖拉赫实验得分评卷人二、计算题（共68分）1.证明：如果算符ˆA和ˆB均是厄米算符，则（ˆˆAB）也是厄米算符（8分）2.试求算符ˆixdFiedx的本征函数（8分）3.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，已知粒子的波函数为求粒子能量取值的几率分布与其平均值。（14分）4.有一粒子，其Hamilton量的矩阵形式为：H=H0+H’，其中求能级的一级近似和波函数的0级近似。（共18分）5.求01ˆ102xS及0ˆ02yiSi的本征值和所属的本征函数。（共20分）24()sincosxxxaaa100000002000200020HH郑州轻工业学院2008—2009学年度第二学期《量子力学》课程期末试卷A卷标准答案一、简答题（共32分）1.德布罗意关系：粒子的能量和动量与波的频率和波长之间的关系，正象光子和光波的关系一样。,hEhpnk2.波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。波函数的标准条件：单值性，有限性，连续性3.全同性原理：在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。4.（1）实验过程：一束处于S态的氢原子束通过一个狭缝和不均匀磁场，最后打到感光板上。（2）实验现象：在感光板上观察到两条分立的线。（3）实验结果分析：氢原子有磁矩，且只有两个取向，但S态氢原子的轨道磁矩等于零，表明S态氢原子的磁矩不是由轨道运动引起的，而是由其自旋运动引起，这证明氢原子中电子具有自旋。二、计算题（共68分）1.（8分）证明：***121212ˆˆˆˆ()ABdAdBd根据厄米算符的定义有**1212ˆˆ()AdAd，**1212ˆˆ()BdBd因此：根据厄米算符的定义可知ˆˆAB也是厄米算符。2.（8分）解：ˆF的本征方程为ˆFF，即：***121212*12ˆˆˆˆ()()()ˆ[()]ABdAdBdABdixdieFdx，（3分）整理得ixixdiFedxFde，两边同时积分可得lnixFeC，则可求的（4分）ixFeCe（1分）3.（14分）解：一维无限深势阱的波函数为2()sinnxxaa，能量为22228nnEa（3分）则题中所给状态可按此展开113322()sin(1cos)122sin2sincos132sinsinsin1312123sinsinsinsin22()()xxxaaaxxxaaaaxxxaaaaxxxxaaaaaaaCxCx（4分）可以看出，题中所给状态并非本征态，而是一个迭加态，它既可以处在1态，也可以处在3态，处于这两个状态的几率为其展开系数的模的平方。（1分）处于12()sinxxaa的几率为21122，其能量值为22128Ea（2分）处于323()sinxxaa的几率为21122，其能量值为223298Ea（2分）则能量平均值222222222191582828Eaaa（2分）4.（18分）解：H0的本征值是三重简并的，这是一个简并微扰问题。（1）本征能量由久期方程|H’-E(1)I|=0得：（3分）(1)(1)22()0EE解得E(1)=0,±α记为：E1(1)=-α；E2(1)=0；E3(1)=+α（2分）故能级一级近似：简并完全消除（2分）（2）求解0级近似波函数将E1(1)=–α代入本征方程，得：故有可解得（2分）由归一化条件则（2分）将E1(1)=0代入本征方程，得：00000)1()1()1(EEE(0)(1)111(0)(1)222(0)(1)333222EEEEEEEEE00000321ccc0)()(31231ccccc0231ccc2112111111||20*0*cccccc取实解：10121)0(100000000321ccc即（2分）由归一化条件故（2分）同理可得：（3分）5.（20分）解：（2分）（2分）（3分）130cc0013cc11||000*022222cccc取实解：010)0(2(0)311021（2分）（2分）（1分）（2分）（3分）（3分