2017版高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法初步复数第2讲直接证明与间接证明练习理

12017版高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法初步、复数第2讲直接证明与间接证明练习理基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、填空题1.下列条件：①ab0，②ab0，③a0，b0，④a0，b0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件的序号是________.解析要使ba＋ab≥2，只需ba0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使ba＋ab≥2成立.答案①③④2.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是________(填序号).答案①3.6＋7与22＋5的大小关系为________.解析要比较6＋7与22＋5的大小，只需比较(6＋7)2与(22＋5)2的大小，只需比较6＋7＋242与8＋5＋410的大小，只需比较42与210的大小，只需比较42与40的大小，∵4240，∴6＋722＋5.答案6＋722＋54.“a＝14”是“对任意正数x，均有x＋ax≥1”的________条件(填“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”).解析当a＝14时，x＋14x≥2x·14x＝1，当且仅当x＝14x，即x＝12时取等号；反之，显然不成立.答案充分不必要5.已知m1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则a，b的大小关系是________.解析∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.2而m＋1＋mm＋m－1＞0(m＞1)，∴1m＋1＋m1m＋m－1，即ab.答案ab6.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的序号是________.①lg(1＋a2)0；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a2＋3ab2b2；④aba＋1b＋1.解析在②中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案②7.①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.则①与②的假设中正确的是________(填序号).解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确.答案②8.分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac＜3a”索的因应是________(填“a－b＞0、a－c＞0、(a－b)(a－c)＞0、(a－b)(a－c)＜0”中的其中一个).解析由题意知b2－ac＜3a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案(a－b)(a－c)＞0二、解答题9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，3∴a＋b2≥ab＞0，b＋c2≥bc＞0，a＋c2≥ac＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.∴a＋b2·b＋c2·c＋a2＞abc成立.上式两边同时取常用对数，得lga＋b2·b＋c2·c＋a2＞lgabc，∴lga＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2＞lga＋lgb＋lgc.10.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.(1)解当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝12an，所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(pqr，且p，q，r∈N*)，则2·12q＝12p＋12r，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①又因为pqr，所以r－q，r－p∈N*.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立.所以假设不成立，原命题得证.能力提升题组(建议用时：15分钟)11.已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且1a＋9b＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________.解析∵a，b∈(0，＋∞)，且1a＋9b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝10＋9ab＋ba≥10＋29＝16(当且仅当a＝4，b＝12时等号成立)，∴a＋b的最小值为16.∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0μ≤16.答案(0，16]412.设a，b，c均为正实数，则对三个数a＋1b，b＋1c，c＋1a，下列结论正确的序号是________.①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2.解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案④13.凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有f（x1）＋f（x2）＋…＋f（xn）n≤f(x1＋x2＋…＋xnn)，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________.解析∵f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A、B、C∈(0，π).∴f（A）＋f（B）＋f（C）3≤fA＋B＋C3＝fπ3，即sinA＋sinB＋sinC≤3sinπ3＝332，所以sinA＋sinB＋sinC的最大值为332.答案33214.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0xc时，f(x)0.(1)证明：1a是函数f(x)的一个零点；(2)试用反证法证明1ac.证明(1)∵f(x)图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，∵f(c)＝0，∴x1＝c是f(x)＝0的根，又x1x2＝ca，∴x2＝1a(1a≠c)，∴1a是f(x)＝0的一个根.即1a是函数f(x)的一个零点.5(2)假设1ac，又1a0，由0xc时，f(x)0，知f1a0与f1a＝0矛盾，∴1a≥c，又∵1a≠c，∴1ac.