2017版高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数122直接证明与间接证明文

1【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数12.2直接证明与间接证明文1．直接证明(1)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法．②框图表示：已知条件⇒…⇒…⇒结论③思维过程：由因导果．(2)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②框图表示：结论⇐…⇐…⇐已知条件③思维过程：执果索因．2．间接证明(1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)反证法的步骤：①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”．(×)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过2程．(√)(6)证明不等式2＋73＋6最合适的方法是分析法．(√)1．已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为_______________________．答案cn＋1cn解析由条件得cn＝an－bn＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，则cn随n的增大而减小，∴cn＋1cn.2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是________．①假设a，b，c都是偶数；②假设a，b，c都不是偶数；③假设a，b，c至多有一个偶数；④假设a，b，c至多有两个偶数．答案②解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故②正确．3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明________(填正确的序号)．①2ab－1－a2b2≤0；②a2＋b2－1－a4＋b42≤0；③a＋b22－1－a2b2≤0；④(a2－1)(b2－1)≥0.答案④解析a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.4．如果aa＋bbab＋ba，则a、b应满足的条件是__________________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)．∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)0.3∴aa＋bbab＋ba成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________三角形．答案等边解析由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴A＝B＝C＝π3，∴△ABC为等边三角形．题型一综合法的应用例1已知数列{an}满足a1＝12，且an＋1＝an3an＋1(n∈N*)．(1)证明数列{1an}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝anan＋1(n∈N*)，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：Tn16.(1)解由已知可得，当n∈N*时，an＋1＝an3an＋1.两边取倒数得，1an＋1＝3an＋1an＝1an＋3，即1an＋1－1an＝3，所以数列{1an}是首项为1a1＝2，公差为3的等差数列，其通项公式为1an＝1a1＋(n－1)×3＝2＋(n－1)×3＝3n－1.所以数列{an}的通项公式为an＝13n－1.(2)证明由(1)知an＝13n－1，4故bn＝anan＋1＝13n－1×1n＋－1＝1n－n＋＝13(13n－1－13n＋2)，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝13×(12－15)＋13×(15－18)＋…＋13×(13n－1－13n＋2)＝13(12－13n＋2)＝16－13×13n＋2.因为13n＋20，所以Tn16.思维升华(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.证明(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设知(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.所以a2b＋b2c＋c2a≥1.题型二分析法的应用例2已知函数f(x)＝tanx，x∈0，π2，若x1，x2∈0，π2，且x1≠x2，求证：12[f(x1)＋f(x2)]fx1＋x22.证明要证12[f(x1)＋f(x2)]fx1＋x22，即证明12(tanx1＋tanx2)tanx1＋x22，5只需证明12sinx1cosx1＋sinx2cosx2tanx1＋x22，只需证明x1＋x22cosx1cosx2x1＋x21＋x1＋x2.由于x1，x2∈0，π2，故x1＋x2∈(0，π)．所以cosx1cosx20，sin(x1＋x2)0,1＋cos(x1＋x2)0，故只需证明1＋cos(x1＋x2)2cosx1cosx2，即证1＋cosx1cosx2－sinx1sinx22cosx1cosx2，即证cos(x1－x2)1.由x1，x2∈0，π2，x1≠x2知上式显然成立，因此12[f(x1)＋f(x2)]fx1＋x22.引申探究若本例中f(x)变为f(x)＝3x－2x，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有fx1＋fx22≥fx1＋x22.证明要证明fx1＋fx22≥fx1＋x22，即证明1212(32)(32)2xxxx≥1223xx－2·x1＋x22，因此只要证明12332xx－(x1＋x2)≥1223xx－(x1＋x2)，即证明12332xx≥1223xx，因此只要证明12332xx≥1233xx，由于x1，x2∈R时，1230,30xx，由基本不等式知12332xx≥1233xx显然成立，故原结论成立．思维升华(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．6已知a0，求证a2＋1a2－2≥a＋1a－2.证明要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只需要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.因为a0，故只需要证(a2＋1a2＋2)2≥(a＋1a＋2)2，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22(a＋1a)＋2，从而只需要证2a2＋1a2≥2(a＋1a)，只需要证4(a2＋1a2)≥2(a2＋2＋1a2)，即a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．题型三反证法的应用命题点1证明否定性命题例3已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．(1)解当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝12an，所以{an}是首项为1，公比为12的等比数列，所以an＝12n－1.(2)证明反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(pqr，且p，q，r∈N*)，则2·12q＝12p＋12r，所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)又因为pqr，且p，q，r∈N*，所以r－q，r－p∈N*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．所以假设不成立，原命题得证．命题点2证明存在性问题7例4若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](ab)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．(1)设g(x)＝12x2－x＋32是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；(2)是否存在常数a，b(a－2)，使函数h(x)＝1x＋2是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解(1)由题设得g(x)＝12(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，即12b2－b＋32＝b，解得b＝1或b＝3.因为b1，所以b＝3.(2)假设函数h(x)＝1x＋2在区间[a，b](a－2)上是“四维光军”函数，因为h(x)＝1x＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以有ha＝b，hb＝a，即1a＋2＝b，1b＋2＝a，解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．命题点3证明唯一性命题例5已知a≠0，证明关于x的方程ax＝b有且只有一个根．证明由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝ba.假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，①ax2＝b，②由①－②得a(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．所以当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．思维升华应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤：第一步：分清命题“p⇒q”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相反的假设綈q；8第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真．所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知矛盾，与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；(2)设bn＝Snn(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，∴d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)．(2)证明由(1)得bn＝Snn＝n＋2.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr，即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)．∴(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴q2－pr＝0，2q－p－r＝0.∴(p＋r2)2＝pr，即(p－r)2＝0.∴p＝r，与p≠r矛盾．∴假设不成立，即数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．反证法在证明题中的应用典例(14分)