20讲两角和与差的正弦余弦和正切公式

1第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．[试一试]1．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为()A．－22B.22C.32D．1答案：B2．(2013·江西高考)若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－132C.13D.23解析：选C因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.1．公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.2．角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.3．三角公式关系[练一练]1．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1答案：D2．(2013·全国卷Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝()3A.16B.13C.12D.23解析：选A法一：cos2α＋π4＝121＋cos2α＋π2＝12(1－sin2α)＝16.法二：cosα＋π4＝22cosα－22sinα，所以cos2α＋π4＝12(cosα－sinα)2＝12(1－2sinαcosα)＝12(1－sin2α)＝16.考点一三角函数公式的基本应用1.已知sinα＝35，α∈π2，π，则cos2α2sinα＋π4＝________.解析：cos2α2sinα＋π4＝cos2α－sin2α222sinα＋22cosα＝cosα－sinα，∵sinα＝35，α∈π2，π，∴cosα＝－45.∴原式＝－75.答案：－752．(2013·四川高考)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝－sinα，∴cosα＝－12，又α∈π2，π，∴sinα4＝32，tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－231－－32＝3.答案：33．已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)∵f(x)＝2sin13x－π6，∴f5π4＝2sin5π12－π6＝2sinπ4＝2.(2)∵α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，∴2sinα＝1013，2sinβ＋π2＝65.即sinα＝513，cosβ＝35.∴cosα＝1213，sinβ＝45.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝1213×35－513×45＝1665.[类题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．考点二三角函数公式的逆用与变形应用[典例](1)(2013·长春二模)在△ABC中，若tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC的值是()5A．－22B.22C.12D．－12(2)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B.12C.32D．－32[解析](1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.故选B.(2)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.[答案](1)B(2)B[类题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．[针对训练]1．(2014·赣州模拟)已知sinα＋π6＋cosα＝435，则sinα＋π3的值为()A.45B.35C.32D.35解析：选A由条件得32sinα＋32cosα＝435，6即12sinα＋32cosα＝45.∴sinα＋π3＝45.2．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．解析：－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.答案：2考点三角的变换[典例](2014·常州一模)已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．[解](1)∵α，β∈0，π2，从而－π2α－βπ2.又∵tan(α－β)＝－130，∴－π2α－β0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)7＝45×31010＋35×－1010＝91050.在本例条件下，求sin(α－2β)的值.解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cosβ＝91050，sinβ＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cosβ－cos(α－β)sinβ＝－2425.[类题通法]1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；3．注意角变换技巧．[针对训练]1．设tan()α＋β＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝()A.1318B.1322C.322D.16解析：选Ctanα＋π4＝tan(α＋β)－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.2．设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．解析：因为α为锐角，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin2α＋π6＝2425，8cos2α＋π6＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250.答案17250第六节简单的三角恒等变换考点一三角函数式的化简1.化简：sin2α－2cos2αsinα－π4＝________.解析：原式＝2sinαcosα－2cos2α22sinα－cosα＝22cosα.答案：22cosα2．化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x.解：原式＝－2sin2xcos2x＋122sinπ4－xcos2π4－xcosπ4－x＝121－sin22x2sinπ4－xcosπ4－x＝12cos22xsinπ2－2x＝12cos2x.93．化简：1tanα2－tanα2·(1＋tanα·tanα2)．解：1tanα2－tanα2·(1＋tanα·tanα2)＝cosα2sinα2－sinα2cosα2·1＋sinαcosα·sinα2cosα2＝cos2α2－sin2α2sinα2cosα2·cosαcosα2＋sinαsinα2cosαcosα2＝2cosαsinα·cosα2cosαcosα2＝2sinα.[类题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．考点二三角函数式的求值研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.归纳起来常见的命题角度有：1给值求值；2给角求值；3给值求角.10角度一给值求值1．(2013·广东高考)已知函数f(x)＝2cosx－π12，x∈R.(1)求fπ3的值；(2)若cosθ＝35，θ∈3π2，2π，求fθ－π6.解：(1)因为f(x)＝2cosx－π12，所以fπ3＝2cosπ3－π12＝2cosπ4＝2×22＝1.(2)因为θ∈3π2，2π，cosθ＝35，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－1－352＝－45.所以fθ－π6＝2cosθ－π6－π12＝2cosθ－π4＝2×22cosθ＋22sinθ＝cosθ＋sinθ＝35－45＝－15.角度二给角求值2．(1)(2013·重庆高考)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D．22－1解析：选C4cos50°－tan40°＝4cos50°－sin40°cos40°＝4sin40°·cos40°cos40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin40°cos40°＝2cos10°－sin30°＋10°cos40°11＝32cos10°－32sin10°cos40°＝3cos30°cos10°－sin30°sin10°cos40°＝3cos40°cos40°＝3.(2)化简：sin50°(1＋3tan10°)＝________.解析：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.答案：1角度三给值求角3．已知α，β为锐角，sinα