21-23传递函数lhk

自动控制原理第二章控制系统数学模型2.1引言2.2微分方程2.3传递函数2.4结构图及等效变换2.5信号流图与梅逊公式2.6闭环系统的传递函数2.7脉冲响应函数2.8matlab中函数的表示第二章控制系统的数学模型自动控制原理第二章控制系统数学模型描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型,可以避开具体系统物理特性，在一般意义下研究控制系统的普遍规律。模型静态数学模型动态数学模型建模方法分析法：实验法：人为对系统施加测试激励，记录输出响应，采用适当数学模型逼近。根据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写相应的数学关系式，建模。2.1引言自动控制原理第二章控制系统数学模型2.2微分方程2.2.1线性系统微分方程的建立解析法建立微分方程的步骤:1.根据元件原理和作用，确定系统和各元件的输入和输出量及中间量；2.从输入端开始，依据各变量所遵循的物理规律写出各元件的动态方程；注意方程个数与变量个数相等。3.消去中间变量，只留输入、输出的微分方程；4.标准化处理，输入写左边，输出写右边，两边降幂排列，系数规范化，化为有物理意义的形式；自动控制原理第二章控制系统数学模型例2-1写出图2-1所示RLC震荡电路的微分方程式C+-Ur(t)Uc(t)+-RL自动控制原理第二章控制系统数学模型例2-2：弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力F(t)作用下位移x(t)的运动方程。自动控制原理第二章控制系统数学模型R-C滤波网络121112221221221()11()1rciidtiRuCidtiRiidtCCidtuC212121122122cccrduduRRCCRCRCRCuudtdt消去中间变量i1、i2得例2-3.试写出图2-2电路的微分方程自动控制原理第二章控制系统数学模型例：2.4写出直流电机驱动控制微分方程。MRauaLaiaEa解：如右图所示，直流电机在电驱控制下，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD，从而使电枢旋转，拖动负载运动。1.Ra控制回路总电阻，La控制回路电感，Ea感应电动势，ua控制输入，𝝎输出。2.忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系;电动机轴上机械运动方程：自动控制原理第二章控制系统数学模型J—负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD—电枢电流产生的电磁转矩;ML—合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程Ea=keke—电势系数，由电动机结构参数确定。MD=kmiakm—转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得dtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma122令机电时间常数Tm:meamkkJRT令电磁时间常数Ta:aaaRLT自动控制原理第二章控制系统数学模型小结：物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。自动控制原理第二章控制系统数学模型2.2非线性数学模型的线性化实际的系统中几乎不同程度都存在非线性关系，实际系统中输入、输出微分方程都是非线性微分方程，但是非线性微分方程求解很困难。对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下可近似地视作线性系统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。这样做会使问题简化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、比较有效的方法。常见有“小偏量法”或“小信号法”。非线性数学模型线性化的假设变量对于平衡工作点的偏离较小非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在自动控制原理第二章控制系统数学模型线性化原理：设非线性方程为y=f(x),静态工作点为y0=f(x0),其各阶导数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数2022000021)(!)()(xxdxydxxdxdyxfyxx∆x=x-x0很小时忽略x-x0二次及以上的项，简化)()(000xxdxdyxfyxkdxdyx0f(x)在静态工作点斜率。其中：K1是f(x)在静态工作点(x10，x20)对x1一阶偏导，K2是f(x)在静态工作点(x10，x20)对x2一阶偏导。多输入变量系统自动控制原理第二章控制系统数学模型习题2-7：已知晶闸管装置的输入输出特性如下，求小偏量线性化方程。0cosdduU解.在工作点(α0,ud0)处展开泰勒级数2000001()'()()''()()2!dddduuuu只取一阶导数，高次忽略，0()ddduuu00sindU自动控制原理第二章控制系统数学模型将非线性系统线性化时，要注意以下几点：1.对本质非线性（非连续，不能泰勒展开）,不能采用小偏差法线性化,只能采用教材第7章的非线性理论来讨论。2.工作点不同,其线性化方程也是不同的。因此对非线性微分方程线性化，一定要先确定其工作点，这样的线性化才是正确的。3.非线性系统的工作点邻域的线性化方程，应满足其函数关系的变化是在小范围内的。否则误差将会很大。因为线性化方程是增量方程，用增量来表示。所以当增量范围过大，不满足线性化条件。自动控制原理第二章控制系统数学模型数学工具-拉普拉斯变换和反变换⑴拉氏变换定义设函数f(t)满足①t0时f(t)=0②t0时，f(t)分段连续则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作L为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、F(s)为拉氏变换函数或原函数的象函数。dtetftfLsFst0)()]([)(自动控制原理第二章控制系统数学模型(1)线性性质(2)微分性质若则有f(0)为原函数f(t)在t=0时的初始值。)()]([sFtfL)0()()]([fssFtfL(3)积分性质若)()]([sFtfLsfssFdttfL)0()(])([1自动控制原理第二章控制系统数学模型f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1sinwt1(t)1/scoswtt1/s21/(s+a))(22wsw)(22wsswteatsinwteatcos22()sasawate求解微分方程过程：考虑初始条件，微分方程变到频域，在S域求解方程，然后把S域的解反变换到时域。22(sa)ww自动控制原理第二章控制系统数学模型例：设网络如图所示，在开关闭合之前，电容上有初始电压uc(0)。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压（网络输出）。解：开关瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压ur(t)=u0*1(t)输入。故网络微分方程idtCuuRiuccr1)(tuudtduRCrcc0()(0)()cccuRCsUsRCuUss拉氏变换后方程为：自动控制原理第二章控制系统数学模型0()(0)(1)(1)ccuRCUsusRCsRCs001()(0)11ccRCRCUsuuusRCsRCs1100()1(t)(0)ttRCRCccutuueue拉氏反变换自动控制原理第二章控制系统数学模型2.3传递函数微分方程在时域分析系统，在外作用下和初始条件下，解微分方程，得到系统输出响应。当系统结构或参数变化时，要重新写微分方程、解方程，很难得到统一规律。提出传递函数，它不但反映系统输入、输出特性，而且能间接反映结构、参数改变时对输出的影响。线性定常系统，初始条件为零，输出拉氏变换和输入拉氏变换之比定义为该系统传递函数。(s)(s)(s)CGR自动控制原理第二章控制系统数学模型R-C电路自动控制原理第二章控制系统数学模型1011011111;nnmnnnnmmmmmdctdctdctdrtaaaactbdtdtdtdtdrtdrtbbbctnmdtdrttct，系统的输入系统的输出量式中量设系统的微分方程1101101110111011G02-3nnmmnnmmmmmmnnnnasasasaCsbsbsbsbRsCsbsbsbsbsRsasasasa（）即初始条件为零，拉氏变换为：自动控制原理第二章控制系统数学模型对于多输入—多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，例如图所示的系统11111222211222111121221222YsGsUsGsUsYsGsUsGsUsYsGsGsUsYsGsGsUs或阵就是该系统的传递函数sG自动控制原理第二章控制系统数学模型（1）传递函数同微分方程一样能表征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。（2）传递函数表示系统本身动态性能，与输入、输出量大小性质无关。（3）传递函数可以无量纲，也可以有量纲。（4）传递函数式S有理真分式，n≥m。自动控制原理第二章控制系统数学模型初始条件为零含义：t=0−，输入及各阶导数为零。t=0−，输出及各阶导数为零。复阻抗法求传递函数例用复阻抗求右图传递函数(s)RGR1(s)CsCGLG(s)=Ls自动控制原理第二章控制系统数学模型自动控制原理第二章控制系统数学模型mnbKa自动控制原理第二章控制系统数学模型无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。（1）比例环节（放大环节/无惯性环节）特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。不延迟，不失真，自动控制原理第二章控制系统数学模型(1)比例环节（又叫放大环节）微分方程:c(t)=kr(t)K——放大系数，()()()CsGskRs自动控制原理第二章控制系统数学模型()rt()ct1r2r()RsCs212rrr()RsCs21RRK+-()rt()ct1R2R3R+cER()cit()bit()cIs()bIs自动控制原理第二章控制系统数学模型自动控制原理第二章控制系统数学模型0tr(t)/c(t)c(t)r(t)Z1=R，Z2=1/CsG(s)=V2/V1=Z2/Z1+Z2=1/(RCs+1)思考，如果输出为电阻电压，还是惯性环节吗？传递函数与系统的输入输出的位置有关；自动控制原理第二章控制系统数学模型特点：输出量的变化速度和输入量成正比。自动控制原理第二章控制系统数学模型K+-()rt()ct1R3RC()cit1()it)(sR)(sCCsR11CsZRZ1211sKTsCsRZZsRsCsG11)(112电动机角度与角速度间的传递函数、电容器充电。t0y(t)/r(t)r(t)y(t)自动控制原理第二章控制系统数学模型(4)微分环节()()ddrtctTdt运动方程t≥0()()()dCsGsTsRs①理想微分环节自动控制原理第二章控制系统数学模型②一阶微分环节运动方程：()'()()ddrtctTrtdt传递函数()()1()dCsGsTsRs1()it()ut()itRC2()itI(s)s1/RU(s)C自动控制原理第二章控制系统数学模型(5)振荡环节222()()2()()dctdctTTctrtdtdt