211数列的概念与简单表示法

2．1数列的概念与简单表示法第1课时数列的概念与简单表示法数列及其有关概念【问题导思】1．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年——约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图(1)所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，将石子摆成如图(2)所示的正方形状，就将其所对应石子个数称为正方形数．你能将三角形数和正方形数所对应的一列数分别写出吗？【提示】(1)1,3,6,10，…(2)1,4,9,16，…2．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分所对应的一列数是怎样的，你能写出来吗？【提示】12，14，18，116，132，…3．观察以上例子中所涉及的一些数，说一说这些数的呈现有什么特点？【提示】每一列数中的数字都是按照一定的顺序排列的．1．数列按照一定排列着的一列数称为数列．2．数列的项数列中的叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)．3．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为，这里n是.顺序每一个数{an}序号数列的分类【问题导思】1．如果组成两个数列的数相同但排列顺序不同，它们是否为同一数列？有没有各项都为同一个数的数列？【提示】不是同一数列，有．2．问题1(知识1)中的两个数列的项随项数的变化有怎样的大小变化？问题2(知识1)中的数列呢？【提示】问题1中的两个数列的项随项数变大而逐渐变大，问题2中的正好相反．数列的分类(1)按项的个数分类类别含义有穷数列项数的数列无穷数列项数的数列有限无限(2)按项的变化趋势分类类别含义递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列各项的数列摆动数列从第2项起，有些项它的前一项，有些项它的前一项的数列大于小于相等大于小于数列的通项公式【问题导思】观察问题1中正方形数所构成的数列与问题2中的数列，你能否发现每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系能否用式子表达出来？【提示】正方形数“1,4,9,16，…”每一项都是这一项项数的平方，即an＝n2.数列“12，14，18，116，…”每一项都是12的项数次方，即an＝(12)n.都可以写成关于项数n(n∈N*)的式子．如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的．序号n通项公式数列的概念判断下列说法是否正确．(1)数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8}．(2)数列1,2,3,5与5,3,2,1是相同的数列．(3)1,2,22,23，…，263是递增数列，也是无穷数列．(4)－1,1，－1,1，…是常数列．【自主解答】(1)错误．数列不能写成集合的形式．(2)错误．数列中的数是有顺序的，数相同但顺序不同的数列不相同．(3)错误．此数列虽然含有省略号，但项数有限，是有穷数列．(4)错误．此数列为摆动数列，不是常数列．(1)数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8}．(2)数列1,2,3,5与5,3,2,1是相同的数列．(3)1,2,22,23，…，263是递增数列，也是无穷数列．(4)－1,1，－1,1，…是常数列．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列则看项的个数有限还是无限．【解】(1)错误．{0,1,2,3,4}是集合，不是数列．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(1){0,1,2,3,4}是有穷数列；(2)所有自然数能构成数列；(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；(4)数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．(2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列．【解】(3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列，当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的顺序排列所组成．下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由．(3)－3，－1,1，x,5,7，y,11是一个项数为8的数列；(4)数列1,2,3,4，…，2n是无穷数列．(4)错误．数列1,2,3,4，…，2n，共有2n项，是有穷数列.写数列的通项公式写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1,3,5,7，…；(2)－23，－415，－635，－863，…；(3)2,5,10,17，…；(4)－12，13，－14，15，…；(5)3,33,333,3333，…；(6)－1,0，－1,0，….【解答】(1)这个数列的前4项1,3,5,7都是序号的2倍减去1，因此它的一个通项公式是an＝2n－1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1,3,5,7，…；(2)－23，－415，－635，－863，…；(2)分别观察这个数列前4项的分子和分母：分子为偶数列：2,4,6,8；分母为1×3,3×5,5×7,7×9；符号均为负．因此它的一个通项公式是an＝－2n2n－12n＋1.(3)观察这个数列的前4项，若各项分别减1，则变为1,4,9,16，所以它的一个通项公式为an＝n2＋1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(3)2,5,10,17，…；(4)－12，13，－14，15，…；(4)数列前4项的分母分别为2,3,4,5，其分子为1，符号正负相间，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n1n＋1.(5)联想特殊数列9,99,999，…的通项公式为an＝10n－1，于是该数列的一个通项公式为an＝39(10n－1)，即an＝13(10n－1)．(5)3,33,333,3333，…；(6)－1,0，－1,0，….(6)an＝－1n为奇数，0n为偶数是此数列的一个通项公式．由于－1＝－12－12，0＝－12＋12.联想到(－1)n具有转换符号的作用，故此数列的通项公式也可写成下列形式：an＝－1n－12.根据数列的前几项写通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律，解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系．具体可参考以下几个思路(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号．(4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．写出下列数列的一个通项公式：(1)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(2)12，14，－58，1316，－2932，…；(3)2，－45，12，－411，….【解】(1)原数列可变形为1－110，1－1102，1－1103，1－1104，…，故所给数列的一个通项公式为an＝1－110n.(2)这个数列各项的绝对值为12，14，58，1316，2932，….分别考虑分子，分母，且(－1)n具有转换符号的作用，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·2n－32n.(3)使各项分子都为4，变为42，－45，48，－411，…，再给分母分别加1，又变为43，－46，49，－412，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1·43n－1.已知数列{an}的通项公式是an＝n2n2＋1.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断910和110是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．【思路探究】(1)通项公式已知，怎样求a4，a7?(2)如何说明一个数是否是某数列中的项？【解答】(1)由通项公式an＝n2n2＋1可得a4＝4242＋1＝1617，a7＝7272＋1＝4950.已知数列{an}的通项公式是an＝n2n2＋1.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)令n2n2＋1＝910，得n2＝9，所以n＝3(n＝－3舍去)，故910是该数列中的项，并且是第3项；令n2n2＋1＝110，得n2＝19，所以n＝±13，由于±13都不是正整数，因此110不是数列中的项．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项；反过来，判断一个数是不是一个数列中的项，要看以n为未知数的方程有没有正整数解，有正整数解就是，否则就不是．已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项呢？【解】(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.(2)设3n2－28n＝－49.解得n＝7或n＝73(舍去)．∴n＝7，即－49是该数列中的第7项．设3n2－28n＝68，解得n＝343或n＝－2.∵343∉N*，－2∉N*，∴68不是该数列中的项.混淆数列概念的有序性致误写出由集合{x|x∈N*且x≤4}中的所有元素构成的数列(要求首项为1，且集合中的元素只出现一次)．【错解】集合中的元素用列举法表示为{1,2,3,4}，所以所求数列为1,2,3,4.【错因分析】本题由集合求出构成数列的每一项后，误把数列当成了集合，认为各项不用考虑顺序而导致写出的答案不全面．【防范措施】数列中的项是有顺序的，每一种不同的顺序对应着一个数列．【正解】集合可表示为{1,2,3,4}，由集合中的元素组成的数列要求首项为1，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有6个：1,2,3,4；1,3,2,4；1,2,4,3；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2.1．数列的定义中的两个关键词：“一列数”，即不止一个数；“一定顺序”，即数列中的数是有序的．2．{an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．3．由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．1．下列说法中正确的是()A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C．数列{n＋1n}的第k项是1＋1kD．数列0,2,4,6,8，…可表示为an＝2n(n∈N＋)【解析】由数列的定义知A，B错误；D中数列的第1项0无法用an＝2n(n∈N*)来表示．【答案】C2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．1，12，13，14，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n【解析】对于A，an＝1n，n∈N*，它是无穷递减数列；对于B，an＝－n，n∈N*，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，an＝－(12)n－1，它是无穷递增数列．【答案】C3．若{an}的通项公式an＝22n＋1，则a5＝________.【解析】a5＝22×5＋1＝211.【答案】2114．已知数列{an}，an＝1nn＋2，(n∈N*)．问1120是这个数列的项吗？如果是，是第几项？【解】由1nn＋2＝1120，解得n＝10，∴1120是此数列的项，是第10项.