21数理统计

第二章参数估计•§1点估计量•§2估计量的评选标准•§3区间估计2参数估计是统计推断的基本问题之一．在实际问题中，总体X的分布类型可能已知，也可能未知．但不论如何，都需要依据样本所提供的信息，估计总体X中如数字特征等未知参数的取值，这就是参数估计问题．其主要内容包含点估计、估计量的评价标准和区间估计．§1点估计量矩估计法是由英国统计学家K皮尔逊()KPearson在1894年提出的方法．矩估计法的原理是来自大数定律．设12(,,,)nXXX为来自总体X的一个样本，且()rrEX，则11lim()nPrrirniXEXn．因此，当n充分大时，11()nrriiXEXn．一、矩估计法定义用来自总体X的样本12(,,,)nXXX的r阶原点矩11nrriiAxn作为总体X的r阶原点矩()rEX(1,2,,)rk的估计量，所产生的参数估计方法称为矩估计法，由矩估计法得到的估计量叫做矩估计量．【思想与方法】样本矩代替理论矩，建立k个方程，从中解出k个未知参数的矩估计量．当1k时，方程XEX最为常用．但有时EX中不含有未知参数，因此从XEX中不能求得，故此时根据低阶矩优先的原则，如改用二阶原点矩建立方程2211()niiXEXn，“=”为形式上记号，实质上应该为“”由于此方程组与下列方程组21,1()niiXEXXXDXn等价，因此后者的使用更为普遍．当2k时，最常用的二个方程为221,1().niiXEXXEXn例3设总体2~(,)XN，12(,,,)nXXX为来自总体X的样本．⑴如果2已知，未知，求的矩估计量；⑵如果已知，2未知，求2的矩估计量2；⑶如果2,均未知，求和2的矩估计量和2．解⑴由XEX，解得X．⑵由于EX中不含有2，故根据低阶矩优先的原则，改用二阶原点矩建立方程222211()niiXEXn，解得22211niiXn．⑶属2k的情形，故需要建立二个方程．由221,1(),niiXEXXXDXn解得2211,()niiXXXn．极大似然估计法是由英国统计学家RA费歇尔于1912年提出，并在1921年的工作中又加以发展的一种重要且普遍使用的点估计法．极大似然估计法是依据“概率最大的事件最有可能出现”的“实际推断”原理产生的估计法．其基本思想是：如果在一次试验中事件A已出现，则一般说来，当时的试验条件应更有利于事件A的出现．二、极大似然估计法引例设有一批产品，其废品率为p，从中随意取出100个，其中有10个废品，试估计p的值。定义如果总体X为离散型随机变量，其分布律为{}(;)PXxpx，12,,,,nxaaa，则记112;)(;)(,,,niinLpxxxx．如果总体X为连续型随机变量，其密度函数为(;)fx，x，则记112)(;)(,,,;niinLfxxxx．称12)(,,,;nLxxx为似然函数，有时也简记为)(L．定义如果12(,,,)()k满足1212))(,,,;(,,,;maxnnLLXXXXXX，就称12(,,,)k为未知参数12(,,,)k的极大似然估计量．【思想】求12(,,,)k的极大似然估计量就是求似然函数)(L12)(,,,;nLXXX的最大值点12(,,,)k．极大似然估计量的求解步骤：常规方法非常规方法第一步：写出似然函数)(L，并取对数ln)(L；第二步：令ln0)(ddL，或ln0)(iL，1,2,,ik，建立方程(组)．如果从中解得惟一驻点12ˆˆ(,,,)nXXX，或112212ˆˆˆ((,,,),(,,,))nnXXXXXX，则ˆ即为的极大似然估计；第三步：如果上述方程无解，则通过单调性的讨论，在某边界点处求出12(,,,)k的极大似然估计量．超几何分布定义如果随机变量X的分布律为{}nkkNMMnNCCPXkC，其中1,,,max{0,}min{,}NMNnNMnNkMn，就称X服从参数为,,MNn的超几何分布，记为~(,,)XHMNn．它描述了由N个物件(M个次品)，抽检n个有k个次品的概率。例如，设袋中有10个红球和6个白球，现从中任取5个球，则5个球中恰有k个白球的概率为5106516kkCCC，其中05k．三、顺序统计量估计法介绍