21矩阵概念

第二章矩阵第1.1节矩阵的定义一.矩阵概念的引入二.矩阵的定义三.小结与思考mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.线性方程组的解取决于,,,2,1,2,1njmiaij，系数mibi,,2,1常数项mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为一、矩阵概念的引入2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.ABCD四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站ABCDABCD其中表示有航班.把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:二、矩阵的定义由个数排成的行列的数表nmmnnjmiaij,,2,1;,,2,1mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵.简称矩阵.nmnm记作mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为.ijnmijnmaaAA.,简称为元的元素个数称为这Anm元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线ija表示第i行第j列的元素，称为（i，j）元.列(column)行(row)默认为实矩阵例如34695301是一个实矩阵,422222222613i是一个复矩阵,33421是一个矩阵,139532是一个矩阵,414是一个矩阵.11例如2222222613i是一个3阶方阵.三、几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵,,,,21naaaA称为行矩阵(或行向量).(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶nnA.nA方阵.也可记作,21naaaB只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.n00000021（3）形如的方阵,OO不全为0（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.nmnmoo注意:.00000000000000000000不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作.,,,21ndiagA注:当n21称为数量矩阵.(5)方阵100010001nII称为单位矩阵（或单位阵）.OO全为1数量矩阵kkkkI000000(6)三角矩阵定义设A与B是两个n阶方阵nnnnnnnnnbbbbbbbbbbBaaaaaaaaaaA3213332312221113332232214131211000000,000000则称A是上三角矩阵，B是下三角矩阵。OO2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即ijijbBaA与,,,2,1;,,2,1njmibaijij则称矩阵相等,记作BA与.BA例如9348314736521与为同型矩阵.四、同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.例2设,131,213321zyxBA.,,,zyxBA求已知解,BA.2,3,2zyx定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数k）记作行乘（第krkii,.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk五、矩阵的初等变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换“c”)．定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换．六、行阶梯形矩阵定义3一个矩阵称为行阶梯形矩阵,如果从第一行起,每行第一个非零元前面零的个数逐行增加,一旦出现零行,则后面各行(若还有的话)都是零行.1100401022000230000411204013220002300000,行阶梯形注意不是阶梯形矩阵!11004010220202300004定义4如果行阶梯形矩阵满足下列两个条件:(1)非零行的首个非零元为1;(2)所有首个非零元所在的列其余元素都是零.则称之为行标准形矩阵（行最简形矩阵）.0000000000310004010000041,0000210070101001如用矩阵的初等行变换化下列矩阵为行阶梯形矩阵,进而化为行标准形矩阵.97963422644121121112B197963211322111241211B21rr23r331000620000111041211B979632113221112412111B13322rrrr143rr234330635500222041211B13322rrrr143rr23252rrr243rr500000310003011040101B310006200001110412113B43rr342rr400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr特点：（1）、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）、每个台阶只有一行，.,Anm即行标准型和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵结论：为行标准形矩阵且都称为行阶梯形矩阵，和矩阵554BBB000003100030110401015B214ccc3215334cccc再进行初等列变换F000000010000010000010000030100310104100143cc00000301003001040001.的标准形称为矩阵矩阵BF.为零阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmnmrOOOFI.,,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm特点：六、小结(1)矩阵的概念mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211列的一个数表行nm(2)特殊矩阵方阵;nm行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;数量阵;三角阵;零矩阵..100010001,21naaaB,,,,21naaaAn00000021