22微观粒子的波动性和状态描述习题解答

1第二十二章微观粒子的波动性和状态描述一选择题1．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的(A)A.动量相同B.能量相同C.速度相同D.动能相同2．关于不确定关系xpx2有以下几种理解，其中正确的是：(C)（1）粒子的动量不可能确定（2）粒子的坐标不可能确定（3）粒子的动量和坐标不可能同时确定（4）不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子A.（1），（2）B.（2），（4）C.（3），（4）D.（4），（1）3.将波函数在空间各点的振幅同时增大2倍，则粒子在空间的分布概率密度将(D)A.增大2倍B.增大2倍C.增大4倍D.不变二填空题1．运动速率等于在300K时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是0.145nm。质量为M=1g，以速度v=1cm·s1运动的小球的德布罗意波长是6.631020nm。（氢原子质量mH=1.67×1027kg）2．当电子受到1.0MV的加速电压作用后，其德布罗意波长为8.7×1013m。（提示：须考虑相对论效应）3．如果电子被限制在边界x与x+x之间，x=0.05nm,，则电子动量x分量的不确定量近似为__1.3×1023_kg·m/s。4.如果系统的激发态能级宽度为1.1eV，此态的寿命是5.99×1016s。5．设描述微观粒子运动的波函数为(r,t)，则*表示粒子在t时刻在（x,y,z）处出现的概率密度；(r,t)须满足的条件是单值、有限、连续；其归一化条件是1=ddd2zyxΨ。三计算题1．若不考虑相对论效应，则波长为550nm的电子的动能是多少eV？解：非相对论动能2k21vmE，而p=mv，所以mpE22k。又根据德布罗意关系有p=h/代入上式，则2622k1098.42×mhEeV2．假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的2倍时，其德布罗意波长为多少？解：若电子的动量是它的静止能量的两倍，则：mc2mec2=2mec2故：m=3me由相对论公式22e1cmmv有22ee13cmmv解得38cv德布罗意波长为13e1058.88×cmhmhvm3.同时确定能量为1KeV的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm以内，则动量不确定值的相对比值p/p至少为多少？解：1KeV的电子的动量（按非相对论计算）为12321ksmkg1071.12×mEp根据不确定关系式px，得到124smkg1006.1×xp故062.0/pp。（若按2/≥px估计，031.0/pp）4．如果原子某激发态的平均寿命为108s，该激发态的能级宽度约是多少？解：根据关系式tE，激发态的能级宽度268341005.1101005.1tEJ5.如果一个质量为m的粒子被限制在x=0到x=L的直线段上作自由运动，试计算系统处于最低能态时的能量。（提示：粒子的德布罗意波满足驻波条件）解：依题意，粒子德布罗意波的定态波函数不为零的区域为0xL，x=0和x=L处相当于固定反射端，因此德布罗意波必满足驻波条件。粒子在0xL区域形成稳定的驻波，其波长满足,3,2,12nnL粒子的动量Lnhhp23自由粒子的能量就是它的动能，因此222282mLhnmpEn当n=1时，系统处于最低能态，其能量为2218mLhE。6.一个粒子沿x方向运动，其波函数为)(11)(xixcx试求：（1）归一化常数c；（2）发现粒子概率密度最大的位置；（3）在x=0到x=1之间粒子出现的概率。解：（1）由波函数的归一化条件1d)(2Vx运动为一维粒子时，有1π2π2d12222ccxxcπ1c（2）概率密度π)1(111π1)(222xixxw而2)1(2π1ddxxxw令上式为零，得到x=0。因此发现粒子概率密度最大的位置是在x=0处。（3）在x=0到x=1之间粒子出现的概率为%2541)0arctan1(arctanπ1d)1(π1d10210xxxwP