22连续信号的频域分析1

第二章连续信号的分析2.2连续信号的频域分析一、周期信号的频谱分析二、非周期信号的频谱分析三、傅里叶变换的性质周期信号的傅里叶级数展开式周期信号的频谱周期信号的功率分配周期信号的傅里叶级数近似线性性质奇偶性对偶性从傅里叶级数到傅里叶变换常见非奇异信号的频谱奇异信号的频谱周期信号的傅里叶变换尺度变换特性时移特性频移特性微分特性积分特性帕斯瓦尔定理卷积定理3傅立叶生平•1768年生于法国•1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”•1829年狄里赫利第一个给出收敛条件•拉格朗日反对发表•1822年首次发表在“热的分析理论”书中傅立叶的两个最主要的贡献•周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和•非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示2.2连续信号的频域分析一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式2.周期信号的频谱3.周期信号的功率分配4.周期信号的傅里叶级数近似•周期信号：–对于连续信号，若存在T0，使x(t)=x(t+nT)n为整数–对于离散信号，若存在大于零的整数N，使x(n)=x(n+kN)k为整数则称x(t)、x(n)为周期信号，T和N分别为x(t)和x(n)的周期。•非周期信号：不具有周期的信号。可看作周期无穷大的周期信号2.2连续信号的频域分析一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式7区间上满足如下条件(称为Dirichlet条件)：]2/,2/[TT则在的连续点处有)(txT(1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)只有有限个极值点.(Dirichlet定理)设是以T为周期的实值函数，且在)(tfT定理在的间断处，上式左端为.)0()0(21txtxTT0001()(cossin)2nnnaxtantbnt)(txT一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式周期为T0的周期信号x(t)，如果满足狄里赫利条件，都可以分解成三角函数不等式：0001()(cossin)2nnnaxtantbnt傅里叶系数三角函数的傅立叶级数：直流系数余弦分量系数正弦分量系数基频T20一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式三角函数的傅立叶级数00/20/202()TTaxtdtT00/21/202()cosTnTaxtntdtT00/21/202()sinTnTbxtntdtT直流系数余弦分量系数正弦分量系数0001()(cossin)2nnnaxtantbnt一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式,cosnnnAa,sinnnnAb，00aA,22nnnbaA令则(A)式变为OnAnanbn,)sincos(2)(0100tnωbtnωaatxnnnT(A)改写001()cos()2nnnAxtAnt一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式傅里叶级数的三角正交集表示001()cos()2nnnAxtAnt00aA22nnnbaAarctannnnba表明一个周期信号可以分解为直流分量和一系列余弦或正弦形式的交流分量物理意义明确，但运算不方便一、周期信号的频谱分析傅里叶级数的三角正交集表示—物理意义这些简谐波的(角)频率分别为一个基频的倍数。0ω频率成份，其频率是以基频为间隔离散取值的。”0ω这是周期信号的一个非常重要的特点。认为“一个周期为T的周期信号并不包含所有的)(txT意义周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，表明001()cos()2nnnAxtAnt一、周期信号的频谱分析傅里叶级数的三角正交集表示—物理意义001()cos()2nnnAxtAnt相位nθ反映了在信号中频率为的简谐波)(txT0nω这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。反映了频率为的简谐波在信号中0nω)(txT振幅nA所占有的份额；沿时间轴移动的大小。一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式傅里叶级数的指数形式运算比较方便根据Euler公式,)sin()cos(00)j0nntnωtnωjtnωen（可得,2ee)cos)()(000nntnωjtnωjntnω（2ee)sin()()(000nntnωjtnωjnjjtnω一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式傅里叶级数的指数形式,2ee)cos)()(000nntnωjtnωjntnω（将001()cos()2nnnAxtAnt代入得,)(2A2A)()(1)(000nnnjntnjneetx1100021212AntjnjnntjnjneeAeeAnn一、周期信号的频谱分析1.周期信号的傅里叶级数展开式傅里叶级数的指数形式nntjntjnjnenXeeAtxn00)(21)(000020021()()TjntTXnxtedtT,2,1,0n复傅里叶系数一、周期信号的频谱分析2.周期信号的频谱（1）相关定义基波信号、谐波信号：周期信号可以分解为一系列余弦信号之和：表明一个周期为T0的信号，除直流分量外，包含有频率为原信号频率以及原信号频率的整数倍的一系列正弦型信号，分别将它们称为基波信号（n=1,也称为一次谐波信号）,二次谐波信号（n=2）,以及三次、四次……谐波信号，它们的振幅分别为对应的An，相位为100)cos(2)(nnntnAAtxn一、周期信号的频谱分析2.周期信号的频谱频谱函数：指数形式的傅立叶级数表达式中复数量随频率的分布称为信号的频谱，也称为周期信号的频谱函数。幅度频谱、相位频谱：通常把幅度随频率的分布称为幅度频谱，简称幅频，相位随频率的分布称为相位频谱，简称相频。频谱图:以频率为横座标，各谐波分量的幅度或相位为纵坐标，画出幅频和相频的变化规律，称为信号的频谱图。njneAnX21)(00n)(0nXn一、周期信号的频谱分析2.周期信号的频谱例：求下图所示的周期矩形脉冲信号的复指数形式傅立叶级数表示式。nntjntjnjnenXeeAtxn00)(21)(0解：如图所示的矩形脉冲信号在一个周期内可表示为求复傅立叶系数其它022)(tEtx222200000001)(1)(TTtjntjndteETdtetxTnX00022002121sin10nnTEejnTEtjn出现形式的函数，在信号理论中经常遇到，称为取样函数，记作Sa(x),它是偶函数，当时，Sa(x)=1为最大值，随着的增大而总趋势衰减，为过零点，每2π起伏一次。xxsin0xx,3,2,x•因此，有•周期矩形脉冲信号复指数形式傅立叶级数展开式为)2()(000nSaTEnXtjnnenSaTEtx02)(000n024002T)(0nX谱线的结构与波形参数的关系：(a)T0一定，变小，此时ω0（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目增多。周期不变时，脉冲宽度越窄，其频谱包络线第一个零值点的频率越高，即信号的带宽越大，频带内所含的分量越多。如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。(b)一定，T0增大，间隔ω0减小，频谱变密。幅度减小。•离散性：频谱是非周期性的离散的线状频谱，连接各谱线顶点的曲线为频谱的包络线，过零点为。•谐波性：谱线以基波频率为间隔等距离分布，表明周期矩形脉冲信号只包含直流分量、基波分量和各次谐波分量。•收敛性：谱线幅度整体上具有减小的趋势。•主要能量在第一过零点内。主带宽度为：0()nSaT2n2b周期矩形脉冲信号的频谱的特点一、周期信号的频谱分析2.周期信号的频谱（2）周期信号的频谱特征以上三个特点是任何满足狄里赫利条件的周期信号的频谱所共同具有的特征。周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。00n)(n00n一、周期信号的频谱分析例求出复指数信号的频谱解：复傅立叶系数为tje02222)1(000000000011)(TTTTtnjtjntjdteTdteeTnX][)1(21|)1(1)1()1(22)1(00000njnjTTtnjeenjenjTsin(1)(1)nn1101nn一、周期信号的频谱分析仅在处有幅度为1的分量，说明复指数信号是正弦信号的一种表现形式0一、周期信号的频谱分析3.周期信号的功率分配P为周期信号的平均功率将代入，有00/22/201()TTPxtdtT100)cos(2)(nnntnAAtx2221202100000212])cos(2[1TTnnnnnAAdttnAATp表明周期信号在时域的平均功率等于信号所包含的直流、基波及各次谐波的平均功率之和，反映了周期信号的平均功率对离散频率的分配关系，称为功率信号的帕斯瓦尔公式。一、周期信号的频谱分析4.周期信号的傅里叶级数近似方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近x(t)t0E/2T0-T0T0/2-T0/2-E/2例：求如图所示的周期方波信号的三角形傅里叶级数展开式。解：上图所示的周期方波信号在一个周期内的解析式可表示为2/02/02/2/)(00TtEtTEtx2/02/02/2/)(00TtEtTEtx傅里叶系数为：2/2/0000cos)(2TTntdtntxTa02/000cos2E-2TtdtnT）（2/T0000cos2E2tdtnT）（2/0][sin1)2(20000TtnnET02/][sin1220000TtnnET由，得,2,1,000na00T22/2/0000sin)(2TTntdtntxTb02/000sin2E-2TtdtnT）（2/T0000sin2E2tdtnT）（2/0]cos-[1)2(20000TtnnET02/]cos-[1220000TtnnET)]cos(1[nnE,6,4,20,5,3,12nnnE的三角形傅里叶级数展开式为)(tx）（ttttx0005sin513sin31sinE2)(与原信号频率相同原信号频率的3倍原信号频率的5倍同时，幅值成比例地减小）（ttttx0005sin513sin31sinE2)()(txt1N3N2N分析：（1）傅里叶级数所取项数越多，叠加后波形越逼近原信号；（2）当信号为方波等脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿，低频分量主要影响脉冲的顶部，所以波形变化愈激烈，所包含的高频分量愈丰富；变化愈缓慢，所包含的低频分量愈丰富；（3）组成原信号的任一频谱分量（包括幅值、相位）发生变化时，信号的波形也会发生变化。)(tx