量子力学习题

第二章波函数与薛定谔方程（1）一、填空题1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数r，一般要求波函数满足三个条件即有限性；连续性；单值性。根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为概率波，波函数模的平方2r表示粒子在空间的几率分布，称为概率密度。而2rd表示在空间体积dt中概率，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须归一化。2、量子力学的状态由波函数描述，在体系空间r点处小体积元dτ内粒子出现的几率与波函数模的平方（|Ψ|2）成正比。3、根据波函数的统计解释，dxtx2),(的物理意义为粒子在xdx范围内的概率。4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数r，一般要求波函数满足三个条件即有限性；单值性；连续的。5、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单值（3）波函数有限。6、三维空间自由粒子的归一化波函数为rp=，drrpp见书P18。7、动量算符的归一化本征态)(rp，drrpp)()(*见书P18。8、按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=见网页收藏，几率流密度j=。9、设)(r描写粒子的状态，2)(r是概率波，在)(r中力学量Fˆ的平均值为F=。10、波函数和c是描写状态，ie中的ie称为，ie不影响波函数的归一化，因为。11、定态是指的状态，束缚态是指的状态。12、定态波函数的形式为。13、)iexp()()iexp()(),(2211tExtExtx是定态的条件是，这时几率密度和都与时间无关。14、波函数的统计解释15．描述微观粒子状态的波函数应满足的三个标准条件。16、粒子作自由运动时，能量本征值是_____。17、已知rVH2212ˆ的本征函数为r，与它相应的本征值为E，则CrVH2222ˆ（C为常数）的本征函数为，本征值为。18、当量子体系处于定态时，体系具有确定的，也即体系的算符代表的力学量有确切值。二、选择题1、有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D.A,B,C.2、设粒子归一化波函数为,,xyz，则在,xxdx范围内找到粒子的几率为（A）2dxdzdy（B）2（C）2dydzdx（D）2dydzdx3、设1()x和2()x分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态cxcx1122()()的几率分布为A.cc112222B.cc112222+2*121ccC.cc112222+2*1212ccD.cc112222+cccc12121212****4、已知波函数1uxiEtuxiEt()exp()()exp()21122uxiEtuxiEt()exp()()exp())exp()()exp()(213EtixuEtixu41122uxiEtuxiEt()exp()()exp().其中定态波函数是A.2B.1和2C.3D.3和45、若波函数(,)xt归一化，则A.(,)exp()xti和(,)exp()xti都是归一化的波函数B.(,)exp()xti是归一化的波函数，而(,)exp()xti不是归一化的波函数C.(,)exp()xti不是归一化的波函数，而(,)exp()xti是归一化的波函数D.(,)exp()xti和(,)exp()xti都不是归一化的波函数.(其中,为任意实数)6、波函数1、21c(c为任意常数)，A.1与21c描写粒子的状态不同.B.1与21c所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:c.C.1与21c所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c.D.1与21c描写粒子的状态相同7、两个粒子的薛定谔方程是A.21212221),,(2),,(iitrrtrrti),,(),,(2121trrtrrUB.21212221),,(2),,(iitrrtrrt),,(),,(2121trrtrrUC.22212121(,,)(,,)2iiirrtrrtt),,(),,(2121trrtrrUD.22212121(,,)(,,)2iiiirrtrrtt),,(),,(2121trrtrrU8、波函数的标准条件为A.在变量变化的全部区域，波函数应单值、有限、连续B.在变量变化的全部区域，波函数应单值、归一、连续C.在变量变化的全部区域，波函数应满足连续性方程D.在变量变化的全部区域，波函数应满足粒子数守恒9、下列波函数中，定态波函数是A.tEiixtEiixexvexutx)()(),(1B.tEiixtEiixexvexutx)()(),(2C.)()()(),(21321EEexuexutxtEitEiD.tEitEiexvexutx)()(),(410、关于波函数Ψ的含义，正确的是A.Ψ代表微观粒子的几率密度；B.Ψ归一化后，代表微观粒子出现的几率密度；C.Ψ一定是实数；D.Ψ一定不连续。11、一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则A.一定也是该方程的一个解；B.一定不是该方程的解；C.Ψ与一定等价；D.无任何结论。12、设波函数22xxAe，为常数，则归一化常数A为（A）1/21/22（B）1/41/22（C）1/41/42（D）1/21/4214、已知做直线运动的粒子处于状态1Cxix，则归一化常数C为（A）1（B）1（C）1（D）15、若nnnaAˆ，则常数na称为算符Aˆ的A、本征方程B、本征值C、本征函数D、守恒量16、波函数应满足的标准条件是A、单值、正交、连续B、归一、正交、完全性C、连续、有限、完全性D、单值、连续、有限17、完全描述微观粒子运动状态的是__A薛定谔方程B测不准关系C波函数D能量18、定态薛定谔方程实际上是的本征方程。A.动能B.势能C.角动量D.以上都不对19、关于以下3个波函数，1xxx，2xxCx，3xCxx，（其中C为常数），叙述正确的选项为______A.1x和2x描述同一状态B.2x和3x描述同一状态C.3x和1x描述同一状态D.以上都不对三、简答题1、何谓定态？它有什么特点？答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数iEtertr,描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。2、简述量子力学中态的叠加原理。答：如果1和2是体系的可能状态，那末它们的线性叠加2211cc（21,cc是复数）也是这个体系的一个可能的状态，这就是量子力学中态的叠加原理。其含义为：当粒子处于1和2的线性叠加态时，粒子是既处在态1，又处在态2。3、简述态叠加原理。答：当,...,...,21n是体系的可能状态，他们的线性迭加：......2211nnccc（...,...,21nccc是复数）也是这个体系的一个可能状态。态叠加原理是微观粒子具有波动性的体现。3、波函数tr,是应该满足什么样的自然条件？2,tr的物理含义是什么？答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。2,tr表示在t时刻r附近d体积元中粒子出现的几率密度。4、下列波函数所描写的状态是不是定态？（1）;)()(),(1tEiixtEiixexvexutx（2）;)()()(),(21221EEexuexutxtEitEi（3）.)()(),(3tEitEiexuexutx答：由2),(tx是否与时间t有关来判定是否是定态（1）21*121)()(),(),(),(ixixexvexutxtxtx与t无关------定态；（2）]2[)(),(),(),(211222*222tEEitEEieexutxtxtx与t有关----非定态（3）]2[)(),(22223tEitEieexutx与t有关------非定态5、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。6、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。7、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。答：设1和2是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1和2的线性叠加2211cc来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112cc确定，2中出现有1和2的干涉项]Re[2*21*21cc，1c和2c的模对相对相位对概率分布具有重要作用。8、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1和2是体系的可能态，则它们的线性叠加2211cc也是体系的一个可能态”。（1）是否可能出现)()()()(),(2211xtcxtctx；（2）对其中的1c与2c是任意与r无关的复数，但可能是时间t的函数。这种理解正确吗？答：（1）可能，这时)(1tc与)(2tc按薛定谔方程的要求随时间变化。（2）如按这种理解),()(),()(),(2211txtctxtctx已知1和2是体系的可能态，它们应满足波方程式11Hti22Hti如果1和2的线性叠加),()(),()(),(2211txtctxtctx也是体系的可能态，就必须满足波方程式Hti，然而，dtdcdtdciHcHcdtdctcdtdctciti2211221122221111可见，只有当021dtdcdtdc时，才有HccHti)(2211。因此，),()(),()(),(2211txtctxtctx中，1c与2c应是任意复常数，而不是时间t的复函数。如上式中态不含时间，则有)()()(2211xcxcx。9、（1）波函数与k、ie是否描述同一态？（2