2013高三数学总复习解析几何单元检测

第九章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B.3C．2D.52．(2010·安徽)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝03．直线x－2y－3＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9交于E、F两点，则△ECF的面积为()A.32B.34C．25D.3554．(2011·咸宁调研)已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线x2a2－y2＝1(a0)交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是()A.3B.6C．2D．35．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．4066．(2011·福建)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1，F2，若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或327．两个正数a、b的等差中项是52，一个等比中项是6，且ab，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e等于()A.32B.152C.13D.1338．若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为()A．[－3，3]B．(－3，3)C.－33，33D.－33，339．(2011·商丘模拟)设双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()A.54B．5C.52D.510．“神舟七号”宇宙飞船的运行轨道是以地球中心，F为左焦点的椭圆，测得近地点A距离地面mkm，远地点B距离地面nkm，地球的半径为kkm，关于椭圆有以下三种说法：①焦距长为n－m；②短轴长为m＋kn＋k；③离心率e＝n－mm＋n＋2k.以上正确的说法有()A．①③B．②③C．①②D．①②③11．设F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点，P在双曲线上，若PF1→·PF2→＝0，|PF1→|·|PF2→|＝2ac(c为半焦距)，则双曲线的离心率为()A.3－12B.3＋12C．2D.5＋1212．(2010·浙江)设F1、F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2011·安庆模拟)若一个圆的圆心在抛物线y2＝4x的焦点处，且此圆与直线3x＋4y＋7＝0相切，则这个圆的方程为________________．14．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点A作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B.若|AM|＝|MB|，则该椭圆的离心率为________．15．(2011·江西)若椭圆x2a2＋y2b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．16．若方程x24－t＋y2t－1＝1所表示的曲线C，给出下列四个命题：①若C为椭圆，则1t4；②若C为双曲线，则t4或t1；③曲线C不可能是圆；④若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则1t32.其中正确的命题是________．(把所有正确命题的序号都填在横线上)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(－2,0)，直角顶点B(0，－22)，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．(1)求BC边所在直线方程；(2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．18．(12分)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于10时，求k的值．19．(12分)(2011·陕西)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．20．(12分)设直线l：y＝k(x＋1)(k≠0)与椭圆x2＋3y2＝a2(a0)相交于两个不同的点A、B，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．(1)证明：a23k21＋3k2；(2)若AC→＝2CB→，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．21．(12分)(2011·福建)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．22．(12分)(2011·山东)已知动直线l与椭圆C：x23＋y22＝1交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两不同点，且△OPQ的面积S△OPQ＝62，其中O为坐标原点．(1)证明：x21＋x22和y21＋y22均为定值．(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|·|PQ|的最大值．(3)椭圆C上是否存在三点D，E，G，使得S△ODE＝S△ODG＝S△OEG＝62？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．第九章章末检测1．D2.A3.C4.B5.B6．A[由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，可设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k，若圆锥曲线为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，e＝ca＝12.若圆锥曲线为双曲线，则2a＝4k－2k＝2k,2c＝3k，e＝ca＝32.]7．D8.C9.D10．A11.D12.C13．(x－1)2＋y2＝414.6315.x25＋y24＝1解析由题意可得切点A(1,0)．切点B(m，n)满足n－12m－1＝－mn，m2＋n2＝1，解得B(35，45)．∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.令y＝0得x＝1，即c＝1；令x＝0得y＝2，即b＝2.∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为x25＋y24＝1.16．②17．解(1)∵kAB＝－2，AB⊥BC，∴kCB＝22.∴lBC：y＝22x－22.故BC边所在的直线方程为x－2y－4＝0.(3分)(2)在上式中，令y＝0，得C(4,0)，∴圆心M(1,0)．又∵|AM|＝3，∴外接圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.(6分)(3)∵圆N过点P(－1,0)，∴PN是该圆的半径．又∵动圆N与圆M内切，∴|MN|＝3－|PN|，即|MN|＋|PN|＝32＝|MP|.(8分)∴点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆．∴a＝32，c＝1，b＝a2－c2＝54.∴轨迹方程为x294＋y254＝1.(10分)18．解设A(x1，y1)、B(x2，y2)．(1)由y2＝－x，y＝kx＋1，得ky2＋y－k＝0，(2分)∴y1y2＝－1.又－x1＝y21，－x2＝y22，∴x1x2＝(y1y2)2＝1，∴x1x2＋y1y2＝0.(4分)∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝0，∴OA⊥OB.(6分)(2)如图，由(1)知y1＋y2＝－1k，y1y2＝－1，∴|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝1k2＋4＝210，(10分)∴k2＝136，∴k＝±16，即所求k的值为±16.(12分)19．解(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得xP＝x，yP＝54y，∵P在圆上，∴x2＋(54y)2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(6分)(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.(8分)∴x1＝3－412，x2＝3＋412.(10分)∴线段AB的长度为|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋1625x1－x22＝4125×41＝415.(12分)20．(1)证明依题意，由y＝k(x＋1)，得x＝1ky－1.将x＝1ky－1代入x2＋3y2＝a2，消去x，得1k2＋3y2－2ky＋1－a2＝0.①(2分)由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4k2－41k2＋3()1－a20，整理得1k2＋3a23，即a23k21＋3k2.(5分)(2)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由①得y1＋y2＝2k1＋3k2，由AC→＝2CB→，C(－1,0)，得y1＝－2y2，代入上式，得y2＝－2k1＋3k2.(8分)于是，S△OAB＝12|OC|·|y1－y2|＝32|y2|＝3|k|1＋3k2≤3|k|23|k|＝32，(10分)其中，上式取等号的条件是3k2＝1，即k＝±33，由y2＝－2k1＋3k2，可得y2＝±33，将k＝33，y2＝－33及k＝－33，y2＝33这两组值分别代入①，均可解出a2＝5，所以，△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程是x2＋3y2＝5.(12分)21．解方法一(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以0－m2－0×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．(3分)从而圆的半径r＝|MP|＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(6分)(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.由y＝－x－m，x2＝4y得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．当m＝1时，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．(10分)综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．(12分)方法二(1)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则4＋m2＝r2，|2－0＋m|2＝r，解得m＝2，r＝22.(4分)所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(6分)(2)同方法一．22．(1)证明①当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以x2＝x1，y2＝－y1.因为P(x1，y1)在椭圆上，因此x213＋y212＝1.①又因为S△OPQ＝62，所以|x1|·|y1|＝62.②由①②得|x1|＝62，|y1|＝1，此时x21＋x22＝3，y21＋y22＝2.②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m，由题意知m≠0，将其代入x23＋y22＝1，得(2＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－2)＝0，其中Δ＝36k2m2－12(2＋3k2)(m2－2)0，即3k2＋2m2.(*)又x1＋x2＝－6km2＋3k2，x1x2＝3m2－22＋3k2，所以|PQ|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·263k2＋2－m22＋3k2.因为点O到直线l的距离为d＝|m|1＋k2，所以S△OPQ＝12|PQ|·d＝121＋k2·263k2＋2－m22＋3k2·|m|1＋k2＝6|m|3k2＋2－m22＋3k2.又S△OPQ＝62，整理得3k2＋2＝2m2，且符合(*)式，(2分)此时x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－6km2＋3k2)2－2×3m2－22＋3k2＝3，y21＋y22＝23(3－x21)＋23