2013高中数学技能特训4-2平面向量基本定理及向量的坐标表示(人教B版)含解析

4-2平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固强化1.(2013·烟台市第一学期检测)已知向量a、b，其中|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是()A.π4B.π2C.3π4D．π[答案]A[解析]由题意知(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b＝0，∴a·b＝2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝22，∴θ＝π4，故选A.2．(2011·湖北八市调研)向量a＝(13，tanα)，b＝(cosα，13)，且a∥b，则锐角α的正弦值为()A.12B.19C.22D.32[答案]B[解析]依题意得13×13－tanα×cosα＝0，即sinα＝19.3．(2011·皖南八校第二次联考)已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与b垂直，则λ的值为()A.52B．－52C.25D．－25[答案]D[解析]∵a＝(3,4)，b＝(2，－1)，∴a＋λb＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－25，故选D.4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A．(2，72)B．(2，－12)C．(3,2)D．(1,3)[答案]A[解析]设点D(m，n)，则由题意知，(4,3)＝2(m，n－2)，∴2m＝4，2n－4＝3.解得m＝2，n＝72，∴D(2，72)，故选A.5．(文)(2011·宁波十校联考)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)[答案]C[解析]由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．(理)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)[答案]B[解析]由题意得BD→＝AD→－AB→＝BC→－AB→＝(AC→－AB→)－AB→＝AC→－2AB→＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)，选B.6．(文)(2011·蚌埠二中质检)已知点A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若AB→⊥a，则实数k的值为()A．－2B．－1C．1D．2[答案]B[解析]AB→＝(2,3)，∵AB→⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.(理)(2012·重庆理，6)设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10[答案]B[解析]∵a⊥c，∴2x－4＝0，∴x＝2，∵b∥c，∴1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2，∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝10.7．(2011·海南质检)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8，6)，则D点的坐标为________．[答案](0，－2)[解析]由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有AB→＝DC→，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)．8．(2012·安徽文)设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.[答案]2[解析]a＋c＝(3,3m)，∵(a＋c)⊥b，∴(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝0，∴3(m＋1)＋3m＝0,6m＋3＝0，∴m＝－12，∴a＝(1，－1)，∴|a|＝2.9．(2012·西安五校第二次联考)梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M、N分别是CD、AB的中点，设AB→＝a，AD→＝b.若MN→＝ma＋nb，则nm＝________.[答案]－4[解析]MN→＝MD→＋DA→＋AN→＝－14a－b＋12a＝14a－b，∴m＝14，n＝－1，∴nm＝－4.10.如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP:PM的值．[解析]设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝2e1＋e2，∵A、P、M和B、P、N分别共线，∴存在λ、μ∈R，使AP→＝λAM→＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2.故BA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2，而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，∴由平面向量基本定理得λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，∴λ＝45，μ＝35.∴AP→＝45AM→，即AP:PM＝4:1.能力拓展提升11.(2012·天津文，8)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P、Q满足AP→＝λAB→，AQ→＝(1－λ)AC→，λ∈R，若BQ→·CP→＝－2，则λ＝()A.13B.23C.43D．2[答案]B[解析]本题考查向量的加法、减法运算．由题意，BQ→＝AQ→－AB→＝(1－λ)AC→－AB→，CP→＝CA→＋AP→＝－AC→＋λAB→，BQ→·CP→＝(λ－1)AC→2－λAB→2＝3λ－4＝－2，∴λ＝23.用模与夹角都已知的AC→、AB→来表示BQ→、CP→是解题关键，(AC→、AB→看作一组基底)．另外本题可以将向量坐标化去解答．12．(文)在平行四边形ABCD中，AE→＝13AB→，AF→＝14AD→，CE与BF相交于G点．若AB→＝a，AD→＝b，则AG→＝()A.27a＋17bB.27a＋37bC.37a＋17bD.47a＋27b[答案]C[解析]∵B、G、F三点共线，∴AG→＝λAF→＋(1－λ)AB→＝14λb＋(1－λ)a.∵E、G、C三点共线，∴AG→＝μAE→＋(1－μ)AC→＝13μa＋(1－μ)(a＋b)．由平面向量基本定理得，λ4＝1－μ，1－λ＝1－23μ.∴λ＝47，μ＝67.∴AG→＝37a＋17b.(理)(2012·沈阳质检)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN→＝λAB→＋μAC→，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D．1[答案]A[解析]本题考查向量的线性运算．据已知N为AM的中点，可得AN→＝12AM→＝λAB→＋μAC→，整理得AM→＝2λAB→＋2μAC→，由于点M在直线BC上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.13.如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且AN→＝12NC→，BN与CM相交于点E，设AB→＝a，AC→＝b，用基底a、b表示向量AE→＝________.[答案]25a＋15b[分析]先利用三点共线进行转化，再通过用基底表示向量的唯一性进行求解．[解析]易得AN→＝13AC→＝13b，AM→＝12AB→＝12a，由N、E、B三点共线知存在实数m，满足AE→＝mAN→＋(1－m)AB→＝13mb＋(1－m)a.由C、E、M三点共线知存在实数n，满足AE→＝nAM→＋(1－n)AC→＝12na＋(1－n)b.所以13mb＋(1－m)a＝12na＋(1－n)b.由于a、b为基底，所以1－m＝12n，13m＝1－n，解得m＝35，n＝45.所以AE→＝25a＋15b.[点评]应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有：1．运用向量的线性运算法则将待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止；2．将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．14．(文)已知A(－2,3)，B(3，－1)，点P在线段AB上，且|APPB|＝，则P点坐标为________．[答案]－13，53[解析]设P(x，y)，则AP→＝(x＋2，y－3)，PB→＝(3－x，－1－y)，∵P在线段AB上，且|APPB|＝，∴AP→＝12PB→，∴(x＋2，y－3)＝3－x2，－1－y2，∴x＋2＝3－x2，y－3＝－1－y2.∴x＝－13，y＝53.即P－13，53.(理)已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE→＝αAB→，AF→＝βAC→，则1α＋1β＝________.[答案]3[解析]连接AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AG→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，设EG→＝λGF→，∴AG→－AE→＝λ(AF→－AG→)，∴AG→＝11＋λAE→＋λ1＋λAF→，∴13AB→＋13AC→＝α1＋λAB→＋λβ1＋λAC→，∴α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ.∴1α＋1β＝3.15．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求DF→.[解析]因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)所以AB→＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点，有AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，所以F为AD的中点，故有DF→＝12DA→＝－12AD→＝(1.75,2)．[点评]注意向量表示的中点公式，M是A、B的中点，O是任一点，则OM→＝12(OA→＋OB→)．16．(文)已知⊙C：(x＋2)2＋(y－1)2＝9及定点A(－1,1)，M是⊙C上任意一点，点N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，动点N的轨迹为C，求曲线C的方程．[解析]设N(x，y)，M(x0，y0)，∵N在射线AM上，且|AM|＝2|MN|，∴AM→＝2MN→或AM→＝－2MN→，AM→＝(x0＋1，y0－1)，MN→＝(x－x0，y－y0)，∴x0＋1＝2x－x0，y0－1＝2y－y0，或x0＋1＝－2x－x0，y0－1＝－2y－y0.∴x0＝132x－1，y0＝132y＋1，或x0＝2x＋1，y0＝2y－1.代入圆方程中得(2x＋5)2＋(2y－2)2＝81或(2x＋3)2＋(2y－2)2＝9.(理)设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R)．(1)记OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？(2)若|a|＝|b|＝1且a与b夹角为120°，那么实数x为何值时，|a－xb|的值最小？[解析](1)∵A、B、C三点共线，∴AB→与AC→共线，又∵AB→＝OB→－OA→＝tb－a，AC→＝OC→－OA→＝13b－23a，∴存在实数λ，使AB→＝λAC→，即tb－a＝λ3b－2λ3a，∴t＝12.(2)∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝120°，∴a·b＝－12，∴|a－xb|2＝|a|2＋x2|b|2－2x·a·b＝1＋x2＋x＝(x＋12)2＋34≥34，∴|a－xb|的最小值为32，此时x＝－12.1．(2011·西安质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A．(79，73)B．(－73，－79)C．(73，79)D．(－79，－73)[答案]D[解析]不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，则有－3×(1＋m)＝2×(2＋n)．又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，解得m＝－79，n＝－73.2．已知两个非零向量a＝(m－1，n－1)，b＝(m－3，n－3)，且a与b的夹角是钝角或直角，则m＋n的取值范围是()A．[2，32]B．[2,