2013高中数学第四课时2.3从速度的倍数到数乘向量(一)教案北师大版必修4

1第四课时2.3从速度的倍数到数乘向量（一）一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点)2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.二.教学重、难点：重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点:实数与向量积的几何意义的理解.三.学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四.教学过程（一）、探究新知1．思考:（引入新课）已知非零向量a作出a+a+a和(a)+(a)+(a)OC=BCABOA=a+a+a=3aPN=MNQMPQ=(a)+(a)+(a)=3a讨论：①3a与a方向相同且|3a|=3|a|②3a与a方向相反且|3a|=3|a|2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a的积，记作：λa定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa①|λa|=|λ||a|；②λ0时λa与a方向相同；λ0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0（请学生自己解释其几何意义）[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充）aaaaOABCaaaaNMQP2例1.（见P96例1）略[展示投影]思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过．．．．．程可根据学生的实际水平决定）．．．．．．．．．．．．．．结合律：λ(μa)=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa②第二分配律：λ(a+b)=λa+λb③结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立如果λ0，μ0，a0有：|λ(μa)|=|λ||μa|=|λ||μ||a||(λμ)a|=|λμ||a|=|λ||μ||a|；∴|λ(μa)|=|(λμ)a|如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a反向。从而λ(μa)=(λμ)a第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立如果λ0，μ0，a0当λ、μ同号时，则λa和μa同向，∴|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|，|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与a同向。即：|(λ+μ)a|=|λa+μa|当λ、μ异号，当λμ时②两边向量的方向都与λa同向当λμ时②两边向量的方向都与μa同向。还可证：|(λ+μ)a|=|λa+μa|∴②式成立第二分配律证明：如果a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立当a0，b0且λ0，λ1时1当λ0且λ1时在平面内任取一点O，作OA=aAB=b1OA=λa11BA=λb则OB=a+b1OBλa+λb由作法知：AB∥11BA有OAB=OA1B1|AB|=λ|11BA|∴||||||||111ABBAOAOAλ∴△OAB∽△OA1B1∴||||1OBOBλAOB=A1OB1OABB1A13因此，O，B，B1在同一直线上，|1OB|=|λOB|1OB与λOB方向也相同λ(a+b)=λa+λb当λ0时可类似证明：λ(a+b)=λa+λb∴③式成立【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）若有向量a(a0)、b，实数λ，使b=λa则由实数与向量积的定义知：a与b为共线向量若a与b共线(a0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa；当a与b反向时b=μa从而得：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数．．．．．．．．．．λ，使b=λa.[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）例2.（见P97例2）略例3.（P97例3改编）如图：OA，OB不共线，P点在AB上，求证：存在实数1.且使OBOAOP（证明过程与P97例3完全类似；略）思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线）（二）、巩固深化，加强基础1.见P98练习1、2、3、4题.2.如例3图，OA，OB不共线，AP=tAB(tR)用OA，OB表示OP.3．设1e,2e是两个不共线向量，已知AB=21e+k2e,CB=1e+32e,CD=21e2e,若三点A,B,D共线，求k的值.解：BD=CDCB=(21e2e)(1e+32e)=1e42e∵A,B,D共线∴AB,BD共线∴存在λ使AB=λBD即21e+k2e=λ(1e42e)∴42k∴k=8（三）、课堂小结（学生总结，其它学生补充）①数乘向量的几何意义理解.②向量b与非零向量a共线的条件是：有且只有一个非零实数．．．．．．．．．．λ，使b=λa.AOBB1A1PBAO4（五）、作业：习题2.3A组第4、5、6、7题．六、课后反思：