2013高中数学精讲精练(新人教A版)第06章_不等式

第1页【精讲精练】共13页2013高中数学精讲精练第六章不等式【知识图解】【方法点拨】不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.1.掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。2.一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。3.线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。不等式一元二次不等式基本不等式二元一次不等式组应用解法应用几何意义应用证明第2页【精讲精练】共13页第1课基本不等式【考点导读】1.能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。2.能用基本不等式解决综合形较强的问题。【基础练习】1.“ab0”是“ab222ab”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)2.cabcabaccbba则,2,2,1222222的最小值为1323.已知,xyR，且41xy，则xy的最大值为1614.已知lglg1xy，则52xy的最小值是2【范例导析】例1.已知54x，求函数14245yxx的最大值.分析：由于450x，所以首先要调整符号.解：∵54x∴540x∴y=4x-2+145x=154354xx≤-2+3=1当且仅当15454xx，即x=1时，上式成立，故当x=1时，max1y.例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且1ab+=xy，求x+y的最小值。（2）已知00yx，，且302xyyx，求xy的最大值．分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于xy的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.解:(1)法一：直接利用基本不等式：abbxayx+y=(x+y)(+)=a+b++xyyx≥a+b+2ab当且仅当aybx=xyab+=1xy，即x=a+aby=b+ab时等号成立第3页【精讲精练】共13页法二：由ab+=1xy得ayx=y-baya(yb)abxyyyybybababay(yb)abybyb∵x0，y0，a0∴由ayy-b0得y-b0∴x+y≥2ab+a+b当且仅当ab=y-by-bab+=1xy，即y=b+abx=a+ab时，等号成立（2）法一：由302xyyx，可得，)300(230xxxy　．xxxxxxxy264)2(34)2(23022264)2(34xx注意到16264)2(2264)2(xxxx．可得，18xy．当且仅当2642xx，即6x时等号成立，代入302xyyx中得3y，故xy的最大值为18．法二：Ryx,，xyxyyx22222，代入302xyyx中得：3022xyxy解此不等式得180xy．下面解法见解法一，下略．点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.【反馈练习】1.设a＞1,且2log(1),log(1),log(2)aaamanapa,则pnm,,的大小关系为m＞p＞n2.已知下列四个结论：①若,,Rba则22baabbaab；②若Ryx,,则yxyxlglg2lglg；③若,Rx则4424xxxx；④若,Rx则222222xxxx。其中正确的是④第4页【精讲精练】共13页3.已知不等式1()()9axyxy对任意正实数,xy恒成立，则正实数a的最小值为64.（1）已知：0xy，且：1xy，求证：2222yxyx，并且求等号成立的条件．（2）设实数x，y满足y+x2=0，0a1，求证：xyaloga+a≤1log28a。解：（1）分析：由已知条件Ryx，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有yx，无法利用xyyx2，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(yxyx型，再行论证．证明：,1.0,0xyyxyx又yxxyyxyxyx2)(222yxyx2)(.22)(2)(2yxyx等号成立当且仅当)(2)(yxyx时．.4,2,2)(222yxyxyx,6)(,12yxxy.6yx由以上得226,226yx即当226,226yx时等号成立．说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．（2）∵yxaa≥81)21x(212xxyx22a2a2a2，81)21x(212≤81，0a1∴81)21x(212a2≥81a2∴yxaa≥81a2∴)aa(logyxa≤812log)a2(loga81a第5页【精讲精练】共13页第2课一元二次不等式【考点导读】1.会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。2.能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题.【基础练习】1.解不等式：（1）23440xx（2）213022xx（3）21322xxxx（4）2232142xx解：（1）原不等式化为23440xx，解集为223x（2）原不等式化为2230xx，解集为R（3）原不等式化为210xx，解集为（4）由22222134210132224,,1322250222xxxxxxxxxx得得得2121,6161xxx或(61,21)(21,61)x点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较.2.函数)1(log221xy的定义域为2,11,23..二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c0的解集是),3()2,(4.若不等式02cbxx的解集是}13{xxx或，则b=__-2____c=__-3____.【范例导析】例.解关于ｘ的不等式)1(12)1(axxa分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.x-3-2-101234y60-4-6-6-406第6页【精讲精练】共13页解:原不等式等价于02)2()1(xaxa∵1a∴等价于：02121xaaxa（*）a１时，（*）式等价于212xaax0∵11112aaa１∴x12aa或x２a１时，（*）式等价于212xaax0由２－12aa＝1aa知：当0a１时，12aa２，∴２x12aa；当a0时，12aa２，∴12aax２；当a＝0时，当12aa＝２，∴x∈φ综上所述可知：当a0时，原不等式的解集为（12aa，2）；当a＝0时，原不等式的解集为φ；当0a１时，原不等式的解集为（2，12aa）；当a１时，原不等式的解集为（－∞，12aa）∪（2，＋∞）。思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.【反馈练习】1.若关于x的不等式210,axaxa的解集为R，则a的取值范围是,02.不等式220axbx解集为1123x，则ab值分别为-12，-23.若函数f(x)=2221xaxa的定义域为R，则a的取值范围为10，4.已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a20解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)0，由0x适合不等式故得0)32)(1(aa，所以1a，或23a.若1a，则5)1(252132aaa，∴2123aa，此时不等式的解集是}2321|{axax；若23a，由45)1(252132aaa，∴2123aa，此时不等式的解集是}2123|{axax。第7页【精讲精练】共13页第3课线性规划【考点导读】1.会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.2.能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.【基础练习】1.原点（0,0）和点P（1,1）在直线0xya的两侧，则a的取值范围是0a22.设集合(,)|,,1Axyxyxy＝是三角形的三边长，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(A)121112oyx121112oyx121112oyx121112oyxABCD3.下面给出四个点中，位于1010xyxy，表示的平面区域内的点是（C）Ａ．(02)，Ｂ．(20)，Ｃ．(02)，Ｄ．(20)，4.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为20210210xyxyxy5.在坐标平面上，不等式组131xyxy所表示的平面区域的面积为23【范例导析】例1.设x,y满足约束条件1255334xyxyx,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。分析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化为一族平行直线，这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在y轴上截距的最大值与最小值问题.解：先作出可行域，如图所示中ABC的区域，第8页【精讲精练】共13页且求得A(5,2),B(1,1),C(1,522)作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值所以zmin=16;zmax=50点拨：几个结论：(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。例2.已知0520402yxyxyx，（1）求yxz2的最大和最小值。（2）求xyz的取值范围。（3）求22yxz的最大和最小值。解析