2013高中数学高考题详细分类考点32数学归纳法

考点32数学归纳法一、填空题1.（2013·湖北高考理科·Ｔ14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为nnnn21212)1(2，记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)=nn21212，正方形数N(n,4)=n2，五边形数N(n,5)=nn21232，六边形数N(n,6)=nn22，………………………………………可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)=【解题指南】归纳出结论，代入数值计算。【解析】三角形数211(,3)22Nnnn，正方形数2(,4)Nnn=nn)2121()2121(2212个，五边形数231(,5)22Nnnn=nn)212121()212121(2213个，六边形数2(,6)2Nnnn=nn)21212121()21212121(2122214个个=，………………………………………推测k边形),(knNnnkk)21...21212121()2121...2121(21)4(221)2(个个nknk)4(21)2(212.所以1000100110010)424(2110)224(21)24,10(2N.【答案】1000二、解答题2.（2013·江苏高考数学科·Ｔ23）设数列1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，………，…,即当*(1)(1)()22kkkknkN时(1)knak。记*12()nnSaaanN.对于*lN，定义集合Pl={n|Sn为an的整数倍,*kN,且1≤n≤l}(1)求P11中元素个数.(2)求集合P2000中元素个数.【解题指南】主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力【解析】由数列{}na的定义得1a=1,2a=-2,3a=-2,4a=3,5a=3,6a=3,7a=-4,8a=-4,9a=-4,10a=-4,11a=5,所以1S=1,2S=-1,3S=-3,4S=0,5S=3,6S=6,7S=2,8S=-2,9S=-6,10S=-10,11S=-5,从而1S=1a，4S=04a,5S=5a,6S=26a,11S=-11a,所以集合11P中元素的个数为5.（2）先证:Si(2i+1)=-i(2i+1)(iN*).事实上,①当i=1时,Si(2i+1)=S3=-3,-i(2i+1)=-3,故原等式成立;②假设i=m时成立,即Sm(2m+1)=-m(2m+1),则i=m+1时,S(m+1)(2m+3)=Sm(2m+1)+(2m+1)2-(2m+2)2=-m(2m+1)-4m-3=-(2m2+5m+3)=-(m+1)(2m+3)综合①②可得Si(2i+1)=-i(2i+1).于是S(i+1)(2i+1)=Si(2i+1)+(2i+1)2=-i(2i+1)+(2i+1)2=(2i+1)(i+1).由上述内容可知Si(2i+1)是2i+1的倍数,而ai(2i+1)+j=2i+1(j=1,2,…,2i+1),所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1)+j(2i+1)是ai(2i+1)+j(j=1,2,…,2i+1)的倍数.又S(i+1)(2i+1)=(i+1)(2i+1)不是2i+2的倍数,而a(i+1)(2i+1)+j=-(2i+2)(j=1,2,…,2i+2),所以S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j，(j=1,2,…,2i+2)的倍数,故当l=i(2i+1)时,集合lP中元素的个数为1+3+…+(2i-1)=i2,于是l=i(2i+1)+j(1j2i+1)时,集合lP中元素的个数为i2+j.又2000=31(231+1)+47,故集合P2000中元素的个数为312+47=1008.