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1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的()A．第18项B．第19项C．第17项D．第20项解析：选B.∵7－3＝11－7＝15－11＝4，即an2－an－12＝4，∴an2＝3＋(n－1)×4＝4n－1，令4n－1＝75，则n＝19.故选B.2．已知数列的通项an＝3n＋1(n为奇数)2n－1(n为偶数)，则a2009－a2010等于()A．2007B．2008C．2009D．2010解析：选C.a2009＝3×2009＋1＝6028；a2010＝2×2010－1＝4019.故a2009－a2010＝6028－4019＝2009.故应选C.3．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是an＝nn＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选A.①错误，如an＋2＝an＋an＋1，a1＝1就无法写出a2；②错误，an＝n＋1n＋2；③正确；④两数列是不同的有序数列．故应选A.4．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则a3a5的值是()A.1516B.158C.34D.38解析：选C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴a3·a2＝a2＋(－1)3，∴a3＝12，∴12a4＝12＋(－1)4，∴a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝23，∴a3a5＝12×32＝34.5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于()A．9B．8C．7D．6解析：选B.an＝S1(n＝1)，Sn－Sn－1(n≥2)，＝－8(n＝1)，－10＋2n(n≥2).∵n＝1时适合an＝2n－10，∴an＝2n－10.∵5ak8，∴52k－108，∴152k9，又∵k∈N＋，∴k＝8，故选B.6．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝an－1an－2(n≥3且n∈N*)，则a17＝()A．1B．2C.12D．2－987解析：选C.由已知得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝12，a6＝12，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝12，a12＝12，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝12.7.已知数列{an}的通项an＝nanb＋c(a，b，c均为正实数)，则an与an＋1的大小关系是________．解析：∵an＝nanb＋c＝ab＋cn，cn是减函数，∴an＝ab＋cn是增函数，∴anan＋1.答案：anan＋18．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝a1(3n－1)2(对n≥1恒成立)且a4＝54，则a1＝________.解析：法一：由S4＝S3＋a4，得a1(34－1)2＝a1(33－1)2＋54，即a1(34－33)2＝54，解得a1＝2.法二：由Sn－Sn－1＝an(n≥2)可得an＝a1(3n－1)2－a1(3n－1－1)2＝a1(3n－3n－1)2＝a1·3n－1，∴a4＝a1·33，∴a1＝5427＝2.答案：29．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝5n2，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．解析：当n＝1时，a1＝T1＝512＝5；当n≥2时，an＝TnTn－1＝5n25(n－1)2＝52n－1(n∈N*)．当n＝1时，也适合上式，所以当n∈N*时，an＝52n－1.答案：an＝52n－1(n∈N*)10．已知数列{an}中，an∈(0，12)，an＝38＋12a2n－1，其中n≥2，n∈N＋，求证：对一切正整数n都有anan＋1成立．证明：an＋1－an＝38＋12an2－an＝12(an－1)2－18，∵0an12，∴－1an－1－12.∴1812(an－1)212.∴12(an－1)2－180.∴an＋1－an0，即anan＋1对一切正整数n都成立．11．(2010年邯郸模拟)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝2an＋1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的增减性．解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．∴bn＝1n(n≥2)，23(n＝1).(2)∴cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＋1，∴cn＋1－cn＝12n＋2＋12n＋3－1n＋10，∴{cn}是递减数列．12．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋pn，数列{bn}的前n项和为Tn＝3n2－2n.(1)若a10＝b10，求p的值．(2)取数列{bn}的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的通项公式．解：(1)由已知，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p(n≥2)，bn＝Tn－Tn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5(n≥2)．∴a10＝19＋p，b10＝55.由a10＝b10，得19＋p＝55，∴p＝36.(2)b1＝T1＝1，满足bn＝6n－5.∴数列{bn}的通项公式为bn＝6n－5.取{bn}中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2k－1＝6(2k－1)－5＝12k－11.∴cn＝12n－11.