2013高考数学(理)一轮复习教案第十三篇_推理证明算法复数第4讲_数学归纳法

第4讲数学归纳法【2013年高考会这样考】1．数学归纳法的原理及其步骤．2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．【复习指导】复习时要抓住数学归纳法证明命题的原理，明晰其内在的联系，把握数学归纳法证明命题的一般步骤，熟知每一步之间的区别联系，熟悉数学归纳法在证明命题中的应用技巧．基础梳理1．归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法．2．数学归纳法(1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的命题集合，如果：①证明起始命题P1(或P0)成立；②在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立．(2)用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：①归纳奠基：证明当取第一个自然数n0时命题成立；②归纳递推：假设n＝k，(k∈N*，k≥n0)时，命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；③由①②得出结论．两个防范数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．三个注意运用数学归纳法应注意以下三点：(1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义．(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论．(3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．双基自测1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为132nn条时，第一步检验第一个值0n等于()A．1B．2C．3D．0解析边数最少的凸n边形是三角形．答案C2．利用数学归纳法证明不等式1111...2321nfn*2,nnN的过程，由nk到1nk时，左边增加了()．A．1项B．k项C．2k－1项D．2k项解析1＋12＋13＋…＋12k＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k－1＝12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共增加了2k项，故选D.答案D3．用数学归纳法证明：“22111...1nnaaaaa*1,anN”在验证1n时，左端计算所得的项为()．A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案C4．某个命题与自然数n有关，若*nkkN时命题成立，那么可推得当1nk时该命题也成立，现已知5n时，该命题不成立，那么可以推得()．A．6n时该命题不成立B．6n时该命题成立C．4n时该命题不成立D．4n时该命题成立解析法一由n＝k(k∈N*)成立，可推得当n＝k＋1时该命题也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．现知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立．法二其逆否命题“若当n＝k＋1时该命题不成立，则当n＝k时也不成立”为真，故“n＝5时不成立”⇒“n＝4时不成立”．答案C5．用数学归纳法证明不等式11113...1224nnnn的过程中，由nk推导1nk时，不等式的左边增加的式子是________．解析不等式的左边增加的式子是12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝12k＋12k＋2，故填12k＋12k＋2.答案12k＋12k＋2考向一用数学归纳法证明等式【例1】用数学归纳法证明：tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝tannαtanα－n(n∈N*，n≥2)．[审题视点]注意第一步验证的值，在第二步推理证明时要注意把假设作为已知．证明(1)当n＝2时，右边＝tan2αtanα－2＝21－tan2α－2＝2tan2α1－tan2α＝tanα·tan2α＝左边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥2)时，等式成立，即tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＝tankαtanα－k，那么当n＝k＋1时，tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α＝tankαtanα－k＋tankα·tan(k＋1)α＝tankαtanα＋1＋tankα·tan(k＋1)α－(k＋1)＝tankαtanα＋tank＋1α－tankαtan[k＋1α－kα]－(k＋1)＝tank＋1αtanα－(k＋1)．这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任何n∈N*且n≥2，原等式成立．用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n0＝2，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式．【训练1】用数学归纳法证明：对任意的n∈N*，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.证明(1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边12×1＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．考向二用数学归纳法证明整除问题【例2】►是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．[审题视点]观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项．解由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，显然成立；(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证．【训练2】用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．证明(1)当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除．(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立，∴对任意n∈N*原命题成立．考向三用数学归纳法证明不等式【例3】►用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋131＋15·…·1＋12n－12n＋12均成立．[审题视点]本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”．证明(1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边右边，∴不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋131＋15·…·1＋12k－12k＋12.则当n＝k＋1时，1＋131＋15·…·1＋12k－11＋12k＋1－12k＋12·2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋32k＋122k＋1＝2k＋1＋12.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．在由n＝k到n＝k＋1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳法证明不等式问题时，从n＝k到n＝k＋1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．【训练3】已知函数f(x)＝13x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an与1的大小，并说明理由．解∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1.∵函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.即1＋an≥2n，∴11＋an≤12n，∴11＋a1＋11＋a2＋11＋a3＋…＋11＋an≤12＋122＋123＋…＋12n＝1－12n＜1.考向四归纳、猜想、证明【例4】►数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[审题视点]利用Sn与an的关系式求出{an}的前几项，然后归纳出an，并用数学归纳法证明．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝32.当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝74.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝158.由此猜想an＝2n－12n－1(n∈N*)．(2)证明①当n＝1时，左边＝a1＝1，右边＝21－120＝1，左边＝右边，结论成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，结论成立，即ak＝2k－12k－1，那么n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝2＋ak2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k，这表明n＝k＋1时，结论成立，由①②知猜想an＝2n－12n－1成立．(1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例从特例入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．(2)数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法所运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决．【训练4】由下列各式1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115＞2，1＋12＋13＋…＋131＞52，…，你能得到怎样的一般不等式，