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方法技巧3排列与组合混合模型【考情快递】此类问题在高考常考选择题或填空题，难度中等．方法1：分类(步)处理解题步骤①将问题分类；②将每一类问题分成若干步解决．适用情况某些问题总体不好解决时，常常分成若干类去解决.【例1】►用6种不同的颜色给如图所示的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的2个格子不同色，不同的涂色方法共有________种．解析若用2种颜色涂，有C26种选法，满足相邻格异色、1个格子1种颜色的涂法有A22种，共有C26A22＝30(种)；若用3种颜色涂，有C36种选法，任选两个不相邻的格子，有3种选法，再与另两格一起涂3种颜色，则有3×A33种，共有C36×A33×3＝360(种)，综上，所求涂色方法总共有390种，故填390.答案390方法2：元素(位置)优先法解题步骤①特殊元素优先排，一般元素后排；②特殊位置优先排，其余位置后排．适用情况对于有特殊位置或特殊元素的问题可以采用此法.【例2】►用0,1,2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数的个数为________．解析若个位数字为0，则千位数字为2，这样的四位数有A28个；若个位不为0，则个位与千位应为1与3,2与4,3与5,4与6,5与7,6与8,7与9，这样的四位数有A22A28C17，所以共有A28＋C17A22A28＝840个符合条件的四位数．故填840.答案840方法3：捆绑或插空法解题步骤①插空法：先排没有限制条件的元素，有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间；②捆绑法：将若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，再将特殊元素在位置上全排列．适用情况某些元素不能相邻或要在特殊位置上用插空法；某些元素必须相邻用捆绑法.【例3】►一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有________种不同的坐法．解析法一先将3个人(用×表示)与4张空椅子(用□表示)排列如图(×□□×□□×)，这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，空当如图中箭头所示(↓×□↓□×□↓□×↓)，从4个空当中选2个插入，有C24种插法；二是2张同时插入，有C14种插法，再考虑3个人可交换，有A33种方法．所以，共有A33(C24＋C14)＝60(种)．故填60.法二下面再看另一种构造方法：先将3个人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有A35C22种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为A35·C22＝60.故填60.答案60方法运用训练31．地面上有A，B，C，D四个科研机构在接收嫦娥卫星发回的某类信息，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率限制，卫星只能随机地向其中一个科研机构发送信息，每个科研机构都不能同时向两个或两个以上的科研机构发送信息，某日四个机构之间发送了三次信息后，都获得了卫星发回的同一条信息，那么A接收到该信息后互相联系的方式共有()．A．16种B．17种C．34种D．48种解析本题应先分类求解，再在每一类中分步：第一类：A直接发送给B，C，D三处，有C33＝1(种)．第二类：A直接发送给B，C，D中的两处，再由其中一处通知第四处，有C23·C12＝6(种)．第三类：A直接发送给B，C，D中的一处，再由该处通知另两处，有C13·(C12＋1)＝9(种)．所以共有1＋6＋9＝16种不同的方式，故选A.答案A2．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如下图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，问不同的栽种方法有多少种？解析由于6部分种4种颜色的花，故必有两部分或两部分以上的区域种同种颜色的花，从而从同颜色的花进行分类．另外，本题也可以用“树支结构”解答．法一从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．(1)②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1＝4×3×2×2×1＝48(种)；(2)③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2＝4×3×2×2×1＝48(种)；(3)②与④且③与⑥同色，则共有N3＝4×3×2×1＝24(种)．所以共有N＝N1＋N2＋N3＝48＋48＋24＝120(种)法二记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有24种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见．根据分步乘法计数原理，不同栽种方法有N＝24×5＝120.答案1203．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有________人．解析符合条件的四位数的个位必须是0,5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：①0排在个位能被5整除的四位数有A11·(C14C24)A33＝144个；②0排在十、百位，但5必须排在个位有A12·A11(C14C13)A22＝48个；③不含0，但5必须排在个位有：A11C13C24A33＝108个．分类加法计数原理得所求四位数共有300个．答案3004．(2011·淮阳中学1次月考)安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是________(用数字作答)．解析分两种情况：(1)不最后一个出场的歌手第一个出场，有A44种排法；(2)不最后一个出场的歌手不第一个出场，有A13A13A33种排法，故共有78种不同排法．答案785．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析题设中“两个各2人”就可以看成把4人分成两组，每组中有2人，把每组中有2人“捆”在一起，这样就形成两个独立的元素．于是该题的解答应该是：先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组C26C24A22，两个一人组C12C11A22，再全排列得：C26C24A22·C12C11A22·A44＝1080.答案10806．马路上有编号为1,2,3，…，10的十只路灯，为节约用电又不影响照明，可以把某中的3只路灯熄灭，但不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，问满足条件的熄灭3只路灯的方法有多少种？解不能同时熄灭相邻的两只或三只路灯，实质上是熄灭的任意两只路灯不能相邻．亮着的7只路灯是不加区别的，其排列的情况只有一种，这7只路灯之间有8个间隙，将3只熄灭的路灯插入间隙，共有C38种插法，所以，满足条件的熄灭3只路灯的方法有1×C38＝56种．