2013高考数学(理)热点专题专练5-13一元二次不等式线性规划基本不等式及其应用

第1页共11页高考专题训练(十三)一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里．1．设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b解析∵ba0，∴a＋b2ab，2bb＋a.∴ba＋b2，∴aaba＋b2b.答案B2．若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9解析f′(x)＝12x2－2ax－2b.因在x＝1处有极值，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6，ab≤a＋b22＝9.答案D3．(2012·辽宁)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是()A．ex≤1＋x＋x2第2页共11页B.11＋x≤1－12x＋14x2C．cosx≥1－12x2D．ln(1＋x)≥x－18x2解析设f(x)＝cosx－1＋12x2，f′(x)＝－sinx＋x0，在(0，＋∞)上恒成立，所以f(x)≥f(0)＝0，故cosx≥1－12x2恒成立．答案C4．设变量x，y满足约束条件x＋2y－5≤0，x－y－2≤0，x≥0，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为()A．11B．10C．9D．8.5解析可行域如图第3页共11页当目标函数过点A时，取最大值，由x－y－2＝0x＋2y－5＝0得A(3,1)，故最大值为10.答案B5．(2012·福建)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为()A.12B．1C.32D．2解析不等式组x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m所表示的可行域如图所示，当点B(m,2m)在点A(m,3－m)与Cm，－3－m2之间时，函数y＝2x图象上存在点满足约束条件，即可得－3－m2≤2m≤3－m(m≤3)，即得2m＋第4页共11页m≤3，∵函数f(x)＝2x＋x在R上是增函数，且f(1)＝3，∴不等式f(m)≤3的解为m≤1，即得实数m的最大值为1.答案B6．(2011·商丘市高三一模)定义在R上的函数f(x)满足f(3)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(3a＋b)1，则b＋2a＋1的取值范围是()A．(1,2)B．(2,5)C．(1,5)D．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象可得y＝f(x)(如下图)的大致图象，由图象可知，当a0，b0第5页共11页即3a＋b0时，y＝f(x)为增函数，又∵f(3)＝1，∴f(3a＋b)f(3)∴3a＋b3a0b0，作出可行域如右图∴b＋2a＋1的最小值为直线AB的斜率kAB＝1b＋2a＋1的最大值为直线AC的斜率kAC＝5∴b＋2a＋1∈(1,5)，故选C.答案C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2012·陕西省高考全真模拟一)若a、b是正常数，a≠b，x、y∈(0，＋∞)，则a2x＋b2y≥a＋b2x＋y，当且仅当ax＝by时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝4x＋91－2xx∈0，12的最小值为第6页共11页________．解析由题意知，f(x)＝22x＋321－2x，x∈0，12，∵2≠3且均为正常数，x∈0，12，∴1－2x∈(0,1)，∴22x＋321－2x≥2＋321－x，当且仅当2x＝31－2x时，即x＝27时等号成立，即f(x)≥35.答案358．(2012·江苏)已知实数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋clnc，则ba的取值范围是________．解析题中条件可转化为3ac＋bc≥5，ac＋bc≤4，bc≥eac令ac＝x，bc＝y，则题目可转化为：已知x，y满足3x＋y≥5，x＋y≤4，y≥ex，且在x0、y0的条件下求yx的取值范围，作出(x，y)所在的平面区域，如图所示，求出y＝ex过原点的切线为y＝ex，且易判断切点P(1，e)在区域顶点A、B之间，故易求出yx的取值范围为[e,7]．第7页共11页答案[e,7]9．(2012·安徽)若x，y满足约束条件x≥0，x＋2y≥3，2x＋y≤3，则x－y的取值范围是________．解析如图画出可行域是如图所示的△ABC的边界及内部，令z＝x－y.易知当直线y＝x－z经过点C(0,3)时，直线在y轴上截距最大，目标函数z取得最小值，即zmin＝－3；当直线y＝x－z经过点B(1,1)时，第8页共11页直线在y轴上截距最小，目标函数z取得最大值，即zmax＝0，所以(x－y)∈[－3,0]．答案[－3,0]10．(2012·湖北省黄冈中学模拟考试)若实数x，y满足4x＋3y＝0，x－y≥－14，x－y≤7，则x2＋y2的取值范围是________．解析如图所示，不等式组4x＋3y＝0x－y≥－14x－y≤7所表示的可行域为线段AB，x2＋y2可看作是可行域内的点P(x，y)到原点O的距离，由图易知|PO|min＝0，|PO|max＝|AO|，由4x＋3y＝0，x－y＝－14，得A(－6,8)，故|PO|max＝－62＋82＝10，即x2＋y2的取值范围为[0,10]．答案[0,10]三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、第9页共11页证明过程或演算步骤．11．(12分)(2012·江西师大附中、临川一中高三联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(4－x)，又函数f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递减．(1)求不等式f(3x)f(2x－1)的解集；(2)设(1)中不等式的解集为A，对于任意的t∈A，不等式x2＋(t－2)x＋1－t0恒成立，求实数x的取值范围．解(1)∵f(x)＝f(4－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵函数f(x＋2)在[0，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减．∴不等式f(3x)f(2x－1)⇔|3x－2||2x－1－2|⇔(3x－2)2(2x－3)2⇔(5x－5)(x＋1)0⇔－1x1，∴原不等式的解集为(－1,1)．(2)令g(t)＝(x－1)t＋(x2－2x＋1)．t∈(－1,1)时，不等式x2＋(t－2)x＋(1－t)0恒成立，即g(t)0在t∈(－1,1)上恒成立．当x≠1时，g－1≥0g1≥0，⇒x2－3x＋2≥0x2－x≥0⇒x≤1或x≥2x≤0或x≥1⇒x≤0或x＝1或x≥2，当x＝1时，00，显然不成立，∴x≠1，∴x≤0或x≥2.综上，x∈(－∞，0]∪[2，＋∞)．第10页共11页12．(13分)设b0，数列{an}满足a1＝b，an＝nban－1an－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.解(1)(ⅰ)若b＝1，则a1＝1，an＝nan－1an－1＋n－1(n≥2)则nan＝an－1＋n－1an－1＝1＋n－1an－1.∴nan是首项为1，公差为1的等差数列，∴nan＝n，∴an＝1.(ⅱ)若b≠1，则ann＝ban－1an－1＋n－1，∴nan＝1b＋1b·n－1an－1，∴nan－1b－1＝1bn－1an－1－1b－1，∴数列nan－1b－1是首项为－1bb－1，公比为1b的等比数列，∴nan－1b－1＝－1bb－1·1bn－1，∵nan＝1b－1－1bb－1·1bn－1，∴an＝nb－1bnbn－1.(2)证明：当b＝1时，2an＝2≤2成立第11页共11页当b≠1时，an＝nb－1bnbn－1＝nb1－1bn1－1b＝nb1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1，要证2an≤bn＋1＋1，只要证an≤bn＋1＋12，只要证nb1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1≤bn＋1＋12即证2nb≤(bn＋1＋1)1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1.∵(bn＋1＋1)1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1＝bn＋1＋bn＋…＋b2＋1＋1b＋1b2＋1bn－1＝bn＋1＋1bn－1＋bn＋1bn－2＋…＋(b2＋1)≥2b＋2b＋…＋2bn＝2nb.∴2nb≤(bn＋1＋1)1＋1b＋1b2＋…＋1bn－1.从而2an≤bn＋1＋1成立．