2013高考数学(理)热点专题专练专题三直线圆圆锥曲线测试题

第1页共19页专题三直线、圆、圆锥曲线测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝0解析x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的直线为l，则kOM＝1，故kl＝－1，∴y＝－1×(x－3)，即x＋y－3＝0.答案A2．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为()A．x－2y＋7＝0B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0D．2x＋y－5＝0解析因为直线x－2y＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y－3＝12(x＋1)，即x－2y＋7＝0.答案A3．曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为()A.722B.922C.1122D.91010第2页共19页解析曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1×[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P(3,2)到直线l的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.答案A4．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为()A．1B．－1C.12D．2解析曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2.故选D.答案D5．直线ax－y＋2a＝0(a≥0)与圆x2＋y2＝9的位置关系是()A．相离B．相交C．相切D．不确定解析圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2得该圆圆心(0,0)到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝2aa2＋－12＝2aa2＋12，由基本不等式可以知道2a≤a2＋12，从而d＝2aa2＋12≤1r＝3，故直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是相交．答案B6．设A为圆(x＋1)2＋y2＝4上的动点，PA是圆的切线，且|PA|第3页共19页＝1，则P点的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝25B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25D．(x－1)2＋y2＝5解析设圆心为O，则O(－1,0)，在Rt△AOP中，|OP|＝|OA|2＋|AP|2＝4＋1＝5.答案B7．(2011·济宁一中高三模拟)双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－14B．－4C．4D.14解析双曲线标准方程为：y2－x2－1m＝1，由题意得－1m＝4，∴m＝－14.答案A8．点P是双曲线x24－y2＝1的右支上一点，M、N分别是(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是()A．2B．4C．6D．8解析第4页共19页如图，当点P、M、N在如图所示的位置时，|PM|－|PN|可取得最大值，注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点，故|PM|－|PN|＝(|PF1|＋|F1M|)－(|PF2|－|F2N|)＝|PF1|－|PF2|＋|F1M|＋|F2N|＝2a＋2R＝6.答案C9．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则()A.1e21＋1e22＝4B．e21＋e22＝4C.1e21＋1e22＝2D．e21＋e22＝2解析设椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，则|PF1|＋|PF2|＝2a①||PF1|－|PF2||＝2m②).①2＋②2得2(|PF1|2＋|PF2|2)＝4a2＋4m2，又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，代入上式得4c2＝2a2＋2m2，两边同除以2c2，得2＝1e21＋1e22，故选C.答案C第5页共19页10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.52D.22解析两条渐近线y＝±bax互相垂直，则－b2a2＝－1，则b2＝a2，双曲线的离心率为e＝ca＝2a2a＝2，选B.答案B11．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D．2解析焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b＝2a，e2＝c2a2＝1＋b2a2＝5，所以e＝5.答案C12．(2011·济南市质量调研)已知点F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()A．(1，3)B．(3，22)C．(1＋2，＋∞)D．(1,1＋2)第6页共19页解析依题意得，0∠AF2F1π4，故0tan∠AF2F11，则b2a2c＝c2－a22ac1，即e－1e2，e2－2e－10，(e－1)22，所以1e1＋2，选D.答案D二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．(2011·安徽“江南十校”联考)设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．解析由椭圆定义|PM|＋|PF1|＝|PM|＋2×5－|PF2|，而|PM|－|PF2|≤|MF2|＝5，所以|PM|＋|PF1|≤2×5＋5＝15.答案1514．(2011·潍坊市高考适应性训练)已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且一条渐近线为直线3x＋y＝0，则该双曲线的离心率等于________．解析设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1，则ba＝3，b2a2＝3，c2－a2a2＝3，∴e＝ca＝2.答案215．(2011·潍坊2月模拟)双曲线x23－y26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析双曲线右焦点为(3,0)，渐近线方程为：y＝±2x，则由点第7页共19页到直线的距离公式可得距离为6.答案616．(2011·郑州市质量预测(二))设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF→|＋|BF→|＝________.解析∵x2＝4y，∴p＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8.∵|AF→|＝y1＋p2，|BF→|＝y2＋p2，∴|AF→|＋|BF→|＝y1＋y2＋p＝8＋2＝10.答案10三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)(2012·天津)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|3.解(1)设点P的坐标为(x0，y0)，由题意，有x20a2＋y20b2＝1.①由A(－a,0)，B(a,0)，得kAP＝y0x0＋a，kBP＝y0x0－a.由kAP·kBP＝－12，可得x20＝a2－2y20，代入①并整理得第8页共19页(a2－2b2)y20＝0.由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝a2－b2a2＝12，所以椭圆的离心率e＝22.(2)(方法一)依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件得y0＝kx0，x20a2＋y20b2＝1.消去y0并整理得x20＝a2b2ka2＋b2.②由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2.整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0.而x0≠0，于是x0＝－2a1＋k2，代入②，整理得(1＋k2)2＝4k2ab2＋4.由ab0，故(1＋k2)24k2＋4，即k2＋14，因此k23，所以|k|3.(方法二)依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，有x20a2＋k2x20b2＝1.因为ab0，kx0≠0，所以x20a2＋k2x20a21，即(1＋k2)x20a2.③由|AP|＝|OA|，A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是x0＝－2a1＋k2.代入③，得(1＋k2)4a21＋k22a2，解得k23，所以|k|3.18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)如图，椭圆C0：x2a2＋y2b2＝1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t21，bt1a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与第9页共19页C0相交于A，B，C，D四点．(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中bt2a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t21＋t22为定值．解(1)设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝y1x1＋a(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝－y1x1－a(x－a)，②由①②相乘得y2＝－y21x21－a(x2－a2)．③由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故x21a2＋y21b2＝1.从而y21＝b21－x21a2，代入③得x2a2－y2b2＝1(x－a，y0)．第10页共19页(2)设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故x21y21＝x22y22.因为点A，A′均在椭圆上，所以b2x211－x21a2＝b2x221－x22a2.由t1≠t2，知x1≠x2，所以x21＋x22＝a2.从而y21＋y22＝b2，因此t21＋t22＝a2＋b2为定值．19．(本小题满分12分)设λ0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线y＝x2上运动，点Q满足BQ→＝λQA→，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM→＝λMP→，求点P的轨迹方程．解由QM→＝λMP→知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2－y0＝λ(y－x2)，即y0＝(1＋λ)x2－λy.①再设B(x1，y1)，由BQ→＝λQA→，即(x－x1，y0－y1)＝λ(1－x,1－y0)，第11页共19页解得x1＝1＋λx－λ，y1＝1＋λy0－λ.②将①式代入②式，消去y0，得x1＝1＋λx－λ，y1＝1＋λ2x2－λ1＋λy－λ.③又点B在抛物线y＝x2上，所以y1＝x21，再将③式代入y1＝x21，得(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝[(1＋λ)x－λ]2.(1＋λ)2x2－λ(1＋λ)y－λ＝(1＋λ)2x2－2λ(1＋λ)x＋λ2.2λ(1＋λ)x－λ(1＋λ)y－λ(1＋λ)＝0.因λ0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x－y－1＝0.故所求点P的轨迹方程为y＝2x－1.20．(本小题满分12分)(2011·天津)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(ab0)为动点，F1、F2分别为椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足AM→·B