2013高考数学一轮复习试题12-6理

用心爱心专心-1-2013高考数学一轮复习试题12-6理A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知某一随机变量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，则a的值为().X4a9P0.50.1bA．5B．6C．7D．8解析由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案C2．(2011·安徽合肥)已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值为()．A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1解析由题意得np＝2.4，np－p＝1.44，解得n＝6，p＝0.4.答案B3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是()．A．6和2.4B．2和2.4C．2和5.6D．6和5.6解析若两个随机变量η，X满足一次关系式η＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、D(X)时，则有E(η)＝aE(X)＋b，D(η)＝a2D(X)．由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案B4．已知X的分布列为X－101P121316用心爱心专心-2-则在下列式子中：①E(X)＝－13；②D(X)＝2327；③P(X＝0)＝13.正确的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析E(X)＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D(X)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．答案C5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a＋13b的最小值为()．A.323B.283C.143D.163解析由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0a23，0b1.又2a＋13b＝3a＋2b22a＋13b＝3＋13＋2ba＋a2b≥103＋22ba·a2b＝163，当且仅当2ba＝a2b，即a＝2b时取“等号”，又3a＋2b＝2，即当a＝12，b＝14时，2a＋13b的最小值为163，故选D.答案D二、填空题(每小题4分，共12分)6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则D(X)＝________.解析∵X～B3，14，∴D(X)＝3×14×34＝916.用心爱心专心-3-答案9167．已知离散型随机变量X的分布列如右表，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.解析由题意知a＋b＋c＝1112，－a＋c＋16＝0，a＋c＋13＝1，解得a＝512，b＝14，c＝14.答案512148．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：ξ123P？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.解析令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.答案2三、解答题(共23分)9．(11分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：(1)随机变量X的分布列；(2)随机变量X的期望．解法一(1)X的所有可能值为0,1,2,3,4,5.由等可能性事件的概率公式得P(X＝0)＝2535＝32243，P(X＝1)＝C15·2435＝80243，P(X＝2)＝C25·2335＝80243，P(X＝3)＝C35·2235＝40243，P(X＝4)＝C45·235＝10243，P(X＝5)＝135＝1243.从而，X的分布列为：X012345用心爱心专心-4-P32243802438024340243102431243(2)由(1)得X的期望为：E(X)＝0×32243＋1×80243＋2×80243＋3×40243＋4×10243＋5×1243＝405243＝53.法二(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故X～B(5，13)，即有P(X＝k)＝Ck5(13)k(23)5－k，k＝0,1,2,3,4,5.由此计算X的分布列如法一．(2)E(X)＝5×13＝53.法三(1)同法一或法二．(2)由对称性与等可能性，在三层的任一层下电梯的人数同分布，故期望值相等．即3E(X)＝5，从而E(X)＝53.10．(12分)(2011·陕西)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．解(1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2.用频率估计相应的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)＞P(B1)，∴乙应选择L2.(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，用心爱心专心-5-由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，∴P(X＝0)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54.∴X的分布列为X012P0.040.420.54∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2010·新课标全国)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()．A．100B．200C．300D．400解析种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000,0.1)，∴E(ξ)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200.答案B2．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()．A．5B．5.25C．5.8D．4.6解析由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝1C36＝120，P(X＝4)＝C23C36＝320，P(X＝5)＝C24C36＝310，P(X＝6)＝C25C36＝12.由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.答案B二、填空题(每小题4分，共8分)3．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)＝________.解析ξ的取值为0,1,2,3，则P(ξ＝0)＝C312C316＝1128；P(ξ＝1)＝C212C14C316＝3370；用心爱心专心-6-P(ξ＝2)＝C112C24C316＝970；P(ξ＝3)＝C34C316＝1140.∴E(ξ)＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.答案344．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E(ξ)＝________.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B4，35，从而有E(ξ)＝np＝4×35＝125.答案125三、解答题(共22分)5．(10分)某省示范高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．(规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座)统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息技术生物化学物理数学周一1414141412周三1212121223周五1313131323(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；(2)设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A，则P(A)＝1－121－231－23＝118.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.P(ξ＝0)＝1－124×1－23＝148；用心爱心专心-7-P(ξ＝1)＝C14×12×1－123×1－23＋1－124×23＝18；P(ξ＝2)＝C24×122×1－122×1－23＋C14×12×1－123×23＝724；P(ξ＝3)＝C34×123×1－12×1－23＋C24×122×1－122×23＝13；P(ξ＝4)＝124×1－23＋C34×123×1－12×23＝316；P(ξ＝5)＝124×23＝124.所以，随机变量ξ的分布列如下：ξ012345P1481872413316124故E(ξ)＝0×148＋1×18＋2×724＋3×13＋4×316＋5×124＝83.6．(12分)某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位游客游览这3个景点的概率分别是0.4、0.5、0.6，且游客是否游览哪个景点互不影响，用X表示该游客离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．(1)求X的分布列及期望；(2)记“f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使f(x0)＝0”为事件A，求事件A的概率．解(1)设游客游览甲、乙、丙景点分别记为事件A1、A2、A3，已知A1、A2、A3相互独立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6.游客游览的景点数可能取值为0、1、2、3，相应的游客没有游览的景点数可能取值为3、2、1、0，所以X的可能取值为1、3.则P(X＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(A1)·P(A2)·P(A3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P(X＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列为：X13P0.760.24∴E(X)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.(2)∵f(x)＝2Xx＋4在[－3，－1]上存在x0，使得f(x0)＝0，∴f(－3)·f(－1)≤0，即(－6X＋4)(－2X＋4)≤