2013高考数学年辽宁卷(文)

2013辽宁卷(文)第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B等于()A．{0}B．{0,1}C．{0,2}D．{0,1,2}答案B解析B＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，∴A∩B＝{0,1}．2．复数z＝1i－1的模为()A.12B.22C.2D．2答案B解析z＝1i－1＝－1－i2，∴|z|＝－122＋－122＝22.3．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为()A.35，－45B.45，－35C.－35，45D.－45，35答案A解析AB→＝OB→－OA→＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝35，－45.4．下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4答案D解析an＝a1＋(n－1)d，d＞0，∴an－an－1＝d＞0，命题p1正确．nan＝na1＋n(n－1)d，∴nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d与0的大小和a1的取值情况有关．故数列{nan}不一定递增，命题p2不正确．对于p3：ann＝a1n＋n－1nd，∴ann－an－1n－1＝－a1＋dnn－1，当d－a1＞0，即d＞a1时，数列{ann}递增，但d＞a1不一定成立，则p3不正确．对于p4：设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d＞0.∴数列{an＋3nd}是递增数列，p4正确．综上，正确的命题为p1，p4.5．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()A．45B．50C．55D．60答案B解析由频率分布直方图，低于60分的频率为(0.01＋0.005)×20＝0.3.∴该班学生人数n＝150.3＝50.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝12b，且a＞b，则∠B等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案A解析由条件得absinBcosC＋cbsinBcosA＝12，依正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝12，∴sin(A＋C)＝12，从而sinB＝12，又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝π6.7．已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋flg12等于()A．－1B．0C．1D．2答案D解析设g(x)＝lg(1＋9x2－3x)＝f(x)－1，g(－x)＝lg(1＋9x2＋3x)＝lg11＋9x2－3x＝－g(x)．∴g(x)是奇函数，∴f(lg2)－1＋flg12－1＝g(lg2)＋glg12＝0，因此f(lg2)＋flg12＝2.8．执行如图所示的程序框图，若输入n＝8，则输出S等于()A.49B.67C.89D.1011答案A解析执行第一次循环后，S＝13，i＝4；执行第二次循环后，S＝25，i＝6；执行第三次循环后，S＝37，i＝8；执行第四次循环后，S＝49，i＝10；此时i＝10＞8，输出S＝49.9．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有()A．b＝a3B．b＝a3＋1aC．(b－a3)b－a3－1a＝0D．|b－a3|＋b－a3－1a＝0答案C解析易知AB→＝OB→－OA→＝(a，a3－b)，且b≠0，a≠0，若A为直角，OA→·AB→＝(0，b)·(a，a3－b)＝b(a3－b)＝0，∴b－a3＝0，若B为直角，OB→·AB→＝(a，a3)·(a，a3－b)＝0，∴a2＋a3(a3－b)＝0，则b－a3－1a＝0，故(b－a3)·b－a3－1a＝0，选C.10．已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210C.132D．310答案C解析∵AB⊥AC，且AA1⊥底面ABC，将直三棱柱补成内接于球的长方体，则长方体的对角线l＝32＋42＋122＝2R，R＝132.11．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为()A.35B.57C.45D.67答案B解析在△ABF中，由余弦定理得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF，∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF.∴c＝|OF|＝12|AB|＝5，利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7.因此椭圆的离心率e＝ca＝57.12．已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于()A．a2－2a－16B．a2＋2a－16C．－16D．16答案C解析f(x)＝[x－(a＋2)]2－4－4a，g(x)＝－[x－(a－2)]2＋12－4a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)．依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)．∴H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4－4a，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝12－4a，因此A－B＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.第Ⅱ卷二、填空题13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案16π－16解析由三视图知，该几何体是由一个底面半径r＝2的圆柱内挖去了一个底面边长为2的正四棱柱，又该几何体的高h＝4，∴V＝(π×22－22)×4＝16π－16.14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________.答案63解析∵a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4，则公比q＝2，因此S6＝1×1－261－2＝63.15．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．答案44解析由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，且|PQ|＝|QA|＋|PA|＝4b＝16，由双曲线定义，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.∴|PF|＋|QF|＝12＋|PA|＋|QA|＝28，因此△PQF的周长为|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．答案10解析把5个班中参加该小组的人数从小到大排列，记为x1，x2，x3，x4，x5，(xi∈N，且x1，x2，x3，x4，x5各不相同)，由题意(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2＝20.∵x1，x2，x3，x4，x5∈N，且各不相同．若使x5－7最大，只需(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2最小，显然(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2最小值为0＋1＋1＋4＝6.∴(x5－7)2≤14，因此(x5－7)2≤9，则x5≤10，x5∈N，经验证x5＝10时，x1＝4，x2＝6，x3＝7，x4＝8满足，所以样本数据中的最大值为10.三、解答题17．设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.18.如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.证明(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M，连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点．由Q为PA中点，得QM∥PC，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.19．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝815.20.如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p＞0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－2时，切线MA的斜率为－12.(1)求p的值；(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．解(1)因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝x2，且切线MA的斜率为－12，所以A点坐标为－1，14，故切线MA的方程为y＝－12(x＋1)＋14.因为点M(1－2，y0)在切线MA及抛物线C2上，于是y0＝－12(2－2)＋14＝－3－224，①y0＝－1－222p＝－3－222p.②由①②得p＝2.(2)设N(x，y)，Ax1，x214，B(x2，x224)，x1≠x2，由N为线段AB中点知x＝x1＋x22，③y＝x21＋x228.④切线MA、MB的方程为y＝x12(x－x1)＋x214.