2013高考数学教案和学案(有答案)--第5章__学案24

学案24平面向量及其线性运算导学目标：1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念、理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．自主梳理1.向量的有关概念(1)向量的定义：既有________又有________的量叫做向量．(2)表示方法：用____________来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．用字母a，b，…或用AB→，BC→，…表示．(3)模：向量的________叫向量的长度或模，记作______或________．(4)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向是________．(5)单位向量：长度为________单位长度的向量叫做单位向量．与a平行的单位向量e＝____________.(6)平行向量：方向________或________的________向量；平行向量又叫________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量________．(7)相等向量：长度________且方向________的向量．2．向量的加法运算及其几何意义(1)已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，则向量OB→叫做a与b的____，记作________，即________＝OA→＋AB→＝________，这种求向量和的方法叫做向量加法的____________．(2)以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC→就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的____________．(3)加法运算律a＋b＝________(交换律)；(a＋b)＋c＝________(结合律)．3．向量的减法及其几何意义(1)相反向量与a________、________的向量，叫做a的相反向量，记作____．(2)向量的减法①定义a－b＝a＋____，即减去一个向量相当于加上这个向量的________．②如图，AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝______，DB→＝______.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作______，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝________；②当λ0时，λa与a的方向________；当λ0时，λa与a的方向________；当a＝0时，λa＝____；当λ＝0时，λa＝____.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝________.(结合律)②(λ＋μ)a＝________.(第一分配律)③λ(a＋b)＝________.(第二分配律)(3)两个向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.5．重要结论(1)PG→＝13(PA→＋PB→＋PC→)⇔G为△ABC的________；(2)PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的________．自我检测1．(2010·四川改编)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC→2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝________.2．下列四个命题：①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；②对于实数m和向量a，b(m∈R)，若ma＝mb，则a＝b；③若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n；④若a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确命题的个数为________．3．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→用a，b表示为________．4．(2010·湖北改编)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________.5．(2009·安徽)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC→＝λAE→＋μAF→，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝______.探究点一平面向量的有关概念辨析例1①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量AB→与向量CD→共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.以上命题中正确的个数为________．变式迁移1下列命题中正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①|a|＝|b|⇒a＝b；②若a＝b，b＝c，则a＝c；③|a|＝0⇒a＝0；④若A、B、C、D是不共线的四点，则AB→＝DC→⇔四边形ABCD是平行四边形．探究点二向量的线性运算例2已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：EF→＝12(AB→＋DC→)．变式迁移2如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB→＝a，AD→＝b，DC→＝c，试用a、b、c表示BC→，MN→，DN→＋CN→.探究点三共线向量问题例3如图所示，平行四边形ABCD中，AD→＝b，AB→＝a，M为AB中点，N为BD靠近B的三等分点，求证：M、N、C三点共线．变式迁移3设两个非零向量e1和e2不共线．(1)如果AB→＝e1－e2，BC→＝3e1＋2e2，CD→＝－8e1－2e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果AB→＝e1＋e2，BC→＝2e1－3e2，CD→＝2e1－ke2，且A、C、D三点共线，求k的值．1．若点P为线段AB的中点，O为平面内的任意一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)．如图所示．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A、B、C共线，则AB→＝λBC→.(2)若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则OC→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是________(填上正确的序号)．①EF→＝OF→＋OE→；②EF→＝OF→－OE→；③EF→＝－OF→＋OE→；④EF→＝－OF→－OE→.2．设a，b为不共线向量，AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，则使AD→＝λBC→成立的λ值为________．3．设a，b是任意的两个向量，λ∈R，给出下面四个结论：①若a与b共线，则b＝λa；②若b＝－λa，则a与b共线；③若a＝λb，则a与b共线；④当b≠0时，a与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ＝λ1，使得a＝λ1b.其中正确的结论有________(填上正确的序号)．4．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→用b，c表示为________．5．(2010·广东中山高三六校联考)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.6．(2009·湖南)如下图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝______，y＝_______.7．已知OP1→＝a，OP2→＝b，P1P2→＝λPP2→(λ≠0)，则OP→＝_________.8．O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ＝12时，则PA→·(PB→＋PC→)的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？10．(14分)在△ABC中，|AD||AB|＝13，|AE||AC|＝14，BE与CD交于点P，且AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AP→.11．(14分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求GA→＋GB→＋GO→；(2)若PQ过△ABO的重心G，且OA→＝a，OB→＝b，OP→＝ma，OQ→＝nb，求证：1m＋1n＝3.答案自主梳理1．(1)大小方向(2)有向线段(3)大小|a||AB→|(4)任意的(5)1个±a|a|(6)相同相反非零共线向量平行(7)相等相同2.(1)和a＋ba＋bOB→三角形法则(2)平行四边形法则(3)b＋aa＋(b＋c)3.(1)长度相等方向相反－a(2)①(－b)相反向量②a＋ba－b4.(1)λa①|λ||a|②相同相反00(2)①(λμ)a②λa＋μa③λa＋λb5.(1)重心(2)重心自我检测1．2解析由BC→2＝16，得|BC→|＝4，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|＝|CB→|＝4.而|AB→＋AC→|＝2|AM→|，故|AM→|＝2.2．3解析①根据实数与向量积的运算可判断其正确；②当m＝0时，ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故②错误；③正确；④由于向量相等具有传递性，故④正确．3．－14a＋14b解析由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，又AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.4．3解析由题目条件可知，M为△ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则AM→＝23AD→，①因为AD为中线，则AB→＋AC→＝2AD→＝mAM→，即2AD→＝mAM→，②联立①②可得m＝3.5.43解析设AB→＝a，AD→＝b，那么AE→＝12a＋b，AF→＝a＋12b，又∵AC→＝a＋b，∴AC→＝23(AE→＋AF→)，即λ＝μ＝23，∴λ＋μ＝43.课堂活动区例10解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．变式迁移1②③④解析①模相同，方向不一定相同，故①不正确；②两向量相等，要满足模相等且方向相同，故向量相等具备传递性，②正确；③只有零向量的模才为0，故③正确；④AB→＝DC→，即模相等且方向相同，即平行四边形对边平行且相等．故④正确．例2证明方法一如图所示，在四边形CDEF中，EF→＋FC→＋CD→＋DE→＝0.①在四边形ABFE中，EF→＋FB→＋BA→＋AE→＝0.②①＋②得(EF→＋EF→)＋(FC→＋FB→)＋(CD→＋BA→)＋(DE→＋AE→)＝0.∵E、F分别是AD、BC的中点，∴FC→＋FB→＝0，DE→＋AE→＝0.∴2EF→＝－CD→－BA→＝AB→＋DC→，即EF→＝12(AB→＋DC→)．方法二取以A为起点的向量，应用三角形法则求证．∵E为AD的中点，∴AE→＝12AD→.∵F是BC的中点，∴AF→＝12(AB→＋AC→)．又AC→＝AD→＋DC→，∴AF→＝12(AB→＋AD→＋DC→)＝12(AB→＋DC→)＋12AD→＝12(AB→＋DC→)＋AE→∴EF→＝AF→－AE→＝12(AB→＋DC→)．即EF→＝12(AB→＋DC→)．变式迁移2解BC→＝BA→＋AD→＋DC→＝－a＋b＋c，∵MN→＝MD→＋DA→＋AN→，MD→＝－12DC→＝－12c，DA→＝－AD→＝－b，AN→＝12AB→＝12a，∴MN→＝12a－b－12c，DN→＋CN→＝DM→＋MN→＋CM→＋MN→＝2MN→＝a－2b－c.例3解题导引(1)在平面几何中，向量之间的关系一般通过两个指定的向量来表示，向量共线应存在实数λ使两向量能互相表示．(2)向量共线的判断(或证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．证明在△ABD中，BD→＝AD→－AB→，因为AB→＝a，AD→＝b，所以BD→＝b－a.∵N点是BD的三等分点，∴BN→＝13BD→＝13(b－a)．∵BC→＝b，∴CN→＝BN→－BC