2013高考新课标全国Ⅰ卷数学(文)

第1页共13页2013新课标全国Ⅰ卷(文)第Ⅰ卷一、选择题1．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}答案A解析∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16.∴B＝{1,4,9,16}．∴A∩B＝{1,4}，故选A.2.1＋2i1－i2＝()A．－1－12iB．－1＋12iC．1＋12iD．1－12i答案B解析1＋2i1－i2＝1＋2i－2i＝i－22＝－1＋12i.故选B.3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.12B.13C.14D.16答案B解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2.所以，所求概率P＝26＝13，故选B.4．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的离心率为52，则C的渐近线方程为()A．y＝±14xB．y＝±13xC．y＝±12xD．y＝±x答案C解析由e＝ca＝52知，a＝2k，c＝5k(k∈R＋)，由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.第2页共13页所以ba＝12.即渐近线方程为y＝±12x.故选C.5．已知命题p：∀x∈R,2x3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．綈p∧qC．p∧綈qD．綈p∧綈q答案B解析由指数函数的性质知，命题p是错误的．而命题q是正确的．故选B.6．设首项为1，公比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an答案D解析Sn＝a11－qn1－q＝a1－q·an1－q＝1－23an13＝3－2an.故选D.7.执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于()A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]答案A解析由程序框图知：第3页共13页s＝3tt14t－t2t≥1，①当－1≤t1时，－3≤s3；②当1≤t≤3时，s＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，由①②知，s∈[－3,4]．故选A.8．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为()A．2B．22C．23D．4答案C解析由y2＝42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－2.设P点坐标为(x0，y0)，则x0＋2＝42，∴x0＝32，∴y20＝42×32＝24，∴|y0|＝26，∴S△POF＝12×2×26＝23.故选C.9．函数f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]的图象大致为()答案C解析f(x)＝(1－cosx)sinx在[－π，π]上为奇函数，x在原点右侧附近f(x)0.可排除A、B.f(x)在0，π2上是增函数，且当x＝π2时，f(x)＝1.排除D.第4页共13页10．已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．8D．5答案D解析由23cos2A＋cos2A＝23cos2A＋2cos2A－1＝25cos2A－1＝0.∴cosA＝15，由a2＝b2＋c2－2bccosA得：72＝b2＋62－12b×15，解之得：b＝5，b＝－135(舍去)．故选D.11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π答案A解析将三视图还原成直观图为：上面是一个正四棱柱，下面是半个圆柱体．所以V＝2×2×4＋12×22×π×4＝16＋8π.故选A.12．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x≤0，lnx＋1，x0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()第5页共13页A．(－∞，0]B．(－∞，0)C．[－2,1]D．[－2,0]答案D解析函数y＝|f(x)|的图象如图．①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．②当a0时，只需在x0时，ln(x＋1)≥ax成立．比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．显然不存在a0使ln(x＋1)≥ax在x0上恒成立．③当a0时，只需在x0时，x2－2x≥ax成立．即a≥x－2成立，∴a≥－2.综上所述：－2≤a≤0.故选D.第Ⅱ卷二、填空题13．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.答案2解析∵c＝ta＋(1－t)b，∴c·b＝ta·b＋(1－t)·b2＝t×1×1×cos60°＋(1－t)×12＝12t＋1－t＝1－12t＝0.∴t＝2.14．设x，y满足约束条件1≤x≤3，－1≤x－y≤0，则z＝2x－y的最大值为________．答案3解析第6页共13页由约束条件画可行域．z＝2x－y即y＝2x－z，过B点时z最大．即zmax＝2×3－3＝3.15．已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．答案92π解析如图所示，CD是截面圆的直径．∴12CD2·π＝π，即CD＝2，设球O的半径为R，由AH∶HB＝1∶2，∴AH＝13×2R＝23R，∴OH＝R－23R＝13R，由OD2＝OH2＋HD2得：R2＝19R2＋1，∴R2＝98∴S球＝4πR2＝92π.16．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.答案－255解析由f(x)＝sinx－2cosx得f′(x)＝cosx＋2sinx，令f′(x)＝0，即cosx＝－2sinx，由sin2x＋cos2x＝1得：sinx＝55cosx＝－255或sinx＝－55cosx＝255，第7页共13页因为f(x)的最大值必然在f′(x)＝0时取得，∴当cosx＝－255时，f(x)max＝5.三、解答题17．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列1a2n－1a2n＋1的前n项和．解(1)∵S3＝0，∴3a2＝0，∵S5＝－5，∴5a3＝5，∴d＝－1，a1＝1.故an＝2－n.(2)1a2n－1a2n＋1＝12n－12n－3＝1212n－3－12n－1Sn＝12－1－1＋1－13＋…＋12n－3－12n－1＝12－1－12n－1＝－n2n－118．为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)，试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0．61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？第8页共13页解(1)xA＝120(0.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.8＋1.8＋2.2＋2.3＋3.2＋3.5＋2.5＋2.6＋1.2＋2.7＋1.5＋2.9＋3.0＋3.1＋2.3＋2.4)＝2.3.xB＝120(3.2＋1.7＋1.9＋0.8＋0.9＋2.4＋1.2＋2.6＋1.3＋1.4＋1.6＋0.5＋1.8＋0.6＋2.1＋1.1＋2.5＋1.2＋2.7＋0.5)＝1.6.从计算结果看，A药服用者的睡眠时间增加的平均数大于服用B药的．所以A药的疗效更好．(2)从茎叶图看，A药的疗效更好．19.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．(1)证明如图，取AB的中点D，连接CD、A1D.∵CA＝CB，∴CD⊥AB，.又∵AA1＝AB，∴AA1＝2AD，又∠A1AD＝60°，∴∠ADA1＝90°，即AB⊥A1D，∴AB⊥平面A1DC，第9页共13页∴AB⊥A1C.(2)解∵AB＝CB＝2＝AC，∴CD＝3，又A1A＝AB＝2，∴A1D2＝22－12＝3，即A1D＝3，∵A1C2＝A1D2＋CD2＝6，∴∠CDA1＝90°，即A1D⊥CD，∴A1D⊥平面ABC，∴VABC－A1B1C1＝34×22×3＝3.20．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解(1)f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，∴a＝4，b＝4.(2)由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝2(x＋2)(2ex－1)令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln12，列表：∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，ln12，＋∞；单调减区间为－2，ln12.f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2.第10页共13页21．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解(1)设圆P的半径为r，则|PM|＝1＋r，|PN|＝3－r，∴|PM|＋|PN|＝4|MN|，∴P的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，左顶点除外，且2a＝4,2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴P的轨迹曲线C的方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．(2)由(1)知：2r＝(|PM|－|PN|)＋2≤|MN|＋2＝4，∴圆P的最大半径为r＝2.此时P的坐标为(2,0)．圆P的方程为(x－2)2＋y2＝4.①当l的方程为x＝0时，|AB|＝23，②设l的方程为y＝kx＋b(k∈R)，|－k＋b|1＋k2＝1|2k＋b|1＋k2＝2解之得：k＝24b＝2或k＝－24b＝－2.∴l的方程为y＝24x＋2，y＝－24x－2.联立方程x24＋y23＝1y＝24x＋2化简：7x2＋8x－8＝0∴x1＋x2＝－87，x1x2＝－87，第11页共13页∴|AB|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝187.22．(选修4－1：几何证明选讲)如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明连结DE，则∠DCB＝∠DEB，∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.(2)解由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，∴CE＝BE，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH＝32，∴OH＝1－34＝12，∴DH＝32，∴tan∠BDE＝3232＝33，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圆直径．第12页共13页∴△BCF的外接圆半径为32.23．(选修4－4：坐标系与参数方程)已知曲线