2015版高中数学(人教版必修5)课件12应用举例第2课时.

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修5第一章解三角形成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5解三角形第一章第一章解三角形成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修51.2应用举例第一章第2课时高度、角度问题第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5课前自主预习第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m，则旗杆的高度为________m.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，可在河的这边选定两点C、D．为了算出A、B间的距离，可先测出CD的长a，再用经纬仪分别测出∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠CDA＝γ，∠CDB＝θ的值．请你根据a、α、β、γ、θ的值，算出A、B间的距离．第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[解析]在△ADC中，∠CAD＝180°－(α＋γ)，由正弦定理，得ADsin∠ACD＝CDsin∠CAD，即ADsinα＝asin[180°－α＋γ]，∴AD＝asinαsinα＋γ.在△CBD中，∠CBD＝180°－(θ＋β)，由正弦定理，得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD，即BDsinβ＝asin[180°－θ＋β]，∴BD＝asinβsinθ＋β.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5在△ADB中，∠ADB＝θ－γ，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，∴AB2＝a2sin2αsin2α＋γ＋a2sin2βsin2θ＋β－2·asinαsinα＋γ·asinβsinθ＋β·cos(θ－γ)，∴AB＝asin2αsin2α＋γ＋sin2βsin2θ＋β－2sinαsinβcosθ－γsinα＋γsinθ＋β.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修51.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示．第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A．αβB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°[答案]B[解析]根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图，平行线之间，内错角相等，α＝β，故应选B.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修52．视角观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角．在点A处观察一物体的视角为50°，请画出示意图．[解析]如图所示．第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修53．坡角、坡比(1)坡角坡面与水平面的夹角．如右图中的角α.(2)坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的HL.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5河堤横断面如图所示，堤高BC＝5m，迎水坡的坡比是33，则斜坡的坡角α等于________，斜坡AB的长度是________．[答案]30°10m[解析]由题意知，坡比i＝tanα＝33.∵0°α90°，∴坡角α＝30°.又∵坡高BC＝5m，∴斜坡长AB＝BCsinα＝5sin30°＝10m.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5课堂典例探究第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5正、余弦定理在高度测量上的应用在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ，由此处向塔走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔走103米，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．[分析]如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、103尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[解析]解法一：∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30，又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝103.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5在△BPC中，根据正弦定理，得PCsin2θ＝PBsinπ－4θ，即103sin2θ＝30sin4θ，∴2sin2θcos2θsin2θ＝30103，∴cos2θ＝32，∵0°2θ90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5解法二：在△BPC中，根据余弦定理，得PC2＝PB2＋BC2－2PB·BC·cos2θ，把PC＝BC＝103，PB＝30代入上式得，300＝302＋(103)2－2×30×103cos2θ，化简得：cos2θ＝32，∵0°2θ90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[方法总结]测量高度的方法对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形．其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可．第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度，在只能使用简单测量工具的前提下，可以设计出哪些测量方法？并提供每种方法的计算公式．[解析]测量方法一：如图所示，在地面上引一条基线AB，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB的长，用经纬仪测出角β，γ和点A对塔顶P的仰角α的大小，则可求出铁塔PO的高．计算方法如下：第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5在△ABO中，由正弦定理，得AO＝ABsinγsin[180°－β＋γ]＝ABsinγsinβ＋γ，在Rt△PAO中，PO＝AOtanα，所以PO＝ABsinγtanαsinβ＋γ.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5测量方法二：如图，在地面上引一条基线AB，并使A，B，O三点在同一条直线上，测出AB长和点A，B分别对塔顶P的仰角α，β，则可求出铁塔PO的高．计算方法如下：在△PAB中，由正弦定理，得PA＝ABsinβsinα－β.在Rt△PAO中，PO＝PAsinα，所以PO＝ABsinαsinβsinα－β.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5正、余弦定理在角度测量上的应用如图所示，当甲船位于A处时，获悉在其正方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[解析]如图所示，连接CB.在△ABC中，∠CAB＝90°＋30°＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos120°.又AC＝10，AB＝20，得BC2＝202＋102－2×20×10×(－12)，∴BC＝107(海里)．由正弦定理，得第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5sin∠ACB＝ABsin∠CABBC＝20sin120°107＝217.又∠ACB为锐角，∴∠ACB≈41°.作CM⊥BA，交BA的延长线于点M，则∠BCM＝30°＋∠ACB≈71°.∴乙船应朝北偏东约71°的方向沿直线前往B处救援．[方法总结]为什么作辅助线CM？∠ACB并不是要求的结果，题目要求的方位角是北偏东多少度，需要作出正北方向线．在点C正北方向线与CB所成的角才是要求的角，即∠BCM.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5我缉私巡逻艇在一小岛A南偏西50°的方向，距小岛A12nmile的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向岛北偏西10°西方向行驶，测得其速度为每小时10nmile，问我巡逻艇需用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两个小时后截获该走私船？(参考数据：sin38°≈0.62)[解析]如下图所示，AC所在射线即为走私船航行路线，假设我巡逻艇在C处截获走私船，我巡逻艇的速度为每小时xnmile，则BC＝2x，AC＝20.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5依题意∠BAC＝180°－50°－10°＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°＝122＋202－2×12×20×(－12)＝784，∴BC＝28，∵BC＝2x，∴x＝14.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5又由正弦定理，得sin∠ABC＝ACsin∠BACBC＝20×3228≈0.62.∴∠ABC＝38°.而如图所示的Rt△ADB中，∠ABD＝40°.∴∠EBC＝90°－38°－40°＝12°.即我巡逻艇用每小时14nmile的速度向北偏东12°的方向航行.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5正、余弦定理在力学中的应用如图，在墙上有一个三角形支架OAB，吊着一个重力为12N的灯，OA、OB都是轻杆，只受沿杆方向的力，试求杆OA、OB所受力的大小．第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5[解析]O点受三个力的作用，灯线的拉力F，方向向下，灯杆OA的拉力F1，方向与OA→同向，灯杆OB的支持力F2方向与BO→同向，三力平衡，∴F＋F1＋F2＝O.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5设OE→＝F，将力F沿AO→，OB→两个方向进行分解，作▱OCED，则OD→＝－F1，OC→＝－F2由题设条件知|OE→|＝12，∠COE＝60°，∠OCE＝45°，∴∠OEC＝75°，在△OCE中，由正弦定理得，12sin45°＝OCsin75°＝CEsin60°，∴CE＝12sin60°sin45°＝66，OC＝12sin75°sin45°＝6(3＋1)，∴|F1|＝|OD→|＝CE＝66(N)，|F2|＝|OC→|＝OC＝6(3＋1)(N)．∴杆OA、OB所受力的大小为66N,6(3＋1)N.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5作用在小车A上的两个水平力F1、F2，|F1|＝40N，|F2|＝20N，夹角为60°，小车的摩擦力大小为207N，则小车在力的作用下能否保持静止？[解析]如图所示．在▱ABCD中，由题意AB＝20，AD＝BC＝40，∠ABC＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos120°＝207，∴|F合|＝AC＝207(N)．∴小车能保持静止.第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5已知A船在灯塔C北偏东80°处，距离灯塔C2km，B船在灯塔C北偏西40°，A、B两船的距离为3km，求B到C的距离．[错解]如图所示，第一章1.2第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·人教A版·数学·必修5由题意