1.火星的质量和半径分别约为地球的110和12,地球表面的重力加速度为g,则火星表面的重力加速度约为()A.0.2gB.0.4gC.2.5gD.5g解析:选B.在星球表面有GMmR2=mg,故火星表面的重力加速度满足g火g=M火R2地M地R2火=0.4,故B正确.2.(2010·高考天津卷)探测器绕月球做匀速圆周运动,变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动,则变轨后与变轨前相比()A.轨道半径变小B.向心加速度变小C.线速度变小D.角速度变小解析:选A.探测器做匀速圆周运动由万有引力充当向心力,GMmr2=m4π2T2r,GMmr2=mv2r,GMmr2=mω2r,GMmr2=ma,由以上四式可知,T减小则r减小,a、v、ω均增大,故仅A正确.3.假设有一个从地面赤道上某处连向其正上方地球同步卫星的“太空电梯”.关于“太空电梯”上各处,说法正确的是()A.重力加速度相同B.线速度相同C.角速度相同D.各质点处于完全失重状态解析:选C.根据重力加速度的决定式g=GMr2可知,离地面越高,重力加速度越小,A项错误.由于太空电梯相对于地球的位置不变,属于地球上的物体,不处于失重状态,角速度不变,线速度随半径的增加而增加,C项正确,B、D项错误.4.(2011·高考山东卷)甲、乙为两颗地球卫星,其中甲为地球同步卫星,乙的运行高度低于甲的运行高度,两卫星轨道均可视为圆轨道.以下判断正确的是()A.甲的周期大于乙的周期B.乙的速度大于第一宇宙速度C.甲的加速度小于乙的加速度D.甲在运行时能经过北极的正上方解析:选AC.设地球质量为M,卫星质量为m,轨道半径为r.甲、乙两卫星遵循相同的规律:GMmr2=mr4π2T2,得出T甲>T乙,A正确.根据GMmr2=mv2r,第一宇宙速度对应轨道半径为地球半径,小于乙的半径,所以乙的速度小于第一宇宙速度,B错误.由GMmr2=ma知,a甲<a乙,C正确.同步卫星的轨道在赤道平面内,D错误.5.如图4-4-7所示,A是地球的同步卫星,另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内,离地面高度为h.已知地球半径为R,地球自转角速度为ω0,地球表面的重力加速度为g,O为地球中心.图4-4-7(1)求卫星B的运行周期.(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上),则至少经过多长时间,它们再一次相距最近?解析:(1)由万有引力定律和向心力公式得GMmR+h2=m4π2T2B(R+h)①GMmR2=mg②联立①②式得TB=2πR+h3gR2.③(2)由题意得(ωB-ω0)t=2π④由③得ωB=gR2R+h3代入④得t=2πgR2R+h3-ω0.答案:(1)2πR+h3gR2(2)2πgR2R+h3-ω0一、单项选择题1.(2012·台州质检)下列说法中错误的是()A.太空人受平衡力作用才能在太空舱中处于悬浮状态B.若卫星轨道越高,其绕地球运行的线速度越小C.地球球心与人造地球卫星的轨道必定在同一平面内D.牛顿发现无论是地面的物体,还是在天上的物体,都遵循万有引力定律解析:选A.太空人在太空舱中处于悬浮状态,是重力完全提供向心力,太空人处于完全失重状态,A错误;卫星绕地球运行时万有引力提供向心力,可得v=GMr,卫星轨道越高,其绕地球运行的线速度越小,且卫星轨道圆心即为地球球心,B正确,C正确;由万有引力定律可知D正确.2.(2011·高考北京卷)由于通讯和广播等方面的需要,许多国家发射了地球同步轨道卫星,这些卫星的()A.质量可以不同B.轨道半径可以不同C.轨道平面可以不同D.速率可以不同解析:选A.地球同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同且与地球自转“同步”,所以它们的轨道平面都必须在赤道平面内,故C项错误;由ω=2πT、mRω2=GMmR2可得R=3GMT24π2,由此可知所有地球同步卫星的轨道半径都相同,故B项错误;由v=rω,ω=2πT可得v=R2πT.可知所有地球同步卫星的运转速率都相同,故D项错误;而卫星的质量不影响运转周期,故A项正确.3.(2011·高考大纲全国卷)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后,先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时);然后,经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”;最后奔向月球.如果按圆形轨道计算,并忽略卫星质量的变化,则在每次变轨完成后与变轨前相比()A.卫星动能增大,引力势能减小B.卫星动能增大,引力势能增大C.卫星动能减小,引力势能减小D.卫星动能减小,引力势能增大解析:选D.卫星每次变轨完成后到达轨道半径较大的轨道,由万有引力提供向心力,即GMmr2=mv2r,卫星的动能Ek=12mv2=12·GMmr,因此卫星动能减小;变轨时需要点火,使其机械能增加,因而引力势能增大,只有D正确.4.(原创题)2011年11月1日5时58分发射的“神舟八号”飞船成功进入目标轨道,要使“神舟八号”飞船追上“天宫一号”目标飞行器完成交会对接,则()A.只能从较低轨道上加速B.只能从较高轨道上加速C.只能从“天宫一号”同一高度的轨道上加速D.无论在什么轨道上,只要加速都行解析:选A.当“神舟八号”开始加速时,“神舟八号”由于速度增大,故将向高轨道运动,所以“神舟八号”为了追上“天宫一号”,只能从低轨道上加速,A正确.5.1990年4月25日,科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空,使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为6.4×106m,利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期.以下数据中最接近其运行周期的是()A.0.6小时B.1.6小时C.4.0小时D.24小时解析:选B.由开普勒行星运动定律可知,R3T2=恒量,所以r+h13t21=r+h23t22,r为地球的半径,h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离、望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期(24小时),代入数据得:t1=1.6小时.6.星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为第二宇宙速度.星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=2v1.已知某星球的半径为r,表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的16,不计其它星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为()A.grB.16grC.13grD.13gr解析:选C.由第一宇宙速度公式可知,该星球的第一宇宙速度为v1=gr6,结合v2=2v1可得v2=13gr,C正确.二、不定项选择题7.(2011·舟山模拟)“嫦娥二号”卫星发射后直接进入近地点高度200千米、远地点高度约38万千米的地月转移轨道直接奔月,如图4-4-8所示.当卫星到达月球附近的特定位置时,卫星就必须“急刹车”,也就是近月制动,以确保卫星既能被月球准确捕获,又不会撞上月球,并由此进入近月点100千米、周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整,进入100千米的极月圆轨道b,轨道a和b相切于P点.下列说法正确的是()图4-4-8A.“嫦娥二号”卫星的发射速度大于7.9km/s,小于11.2km/sB.“嫦娥二号”卫星的发射速度大于11.2km/sC.“嫦娥二号”卫星在a、b轨道经过P点的速度va=vbD.“嫦娥二号”卫星在a、b轨道经过P点的加速度分别为aa、ab,则aa=ab解析:选AD.“嫦娥二号”卫星的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间,A项正确,B项错误;“嫦娥二号”卫星在a轨道经过P点时减小卫星速度,卫星即可由椭圆轨道a变为圆轨道b,故va>vb,但万有引力相同,加速度相同,C项错,D项正确.8.(2011·高考天津卷)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行,其运动视为匀速圆周运动.已知月球质量为M,月球半径为R,月球表面重力加速度为g,引力常量为G,不考虑月球自转的影响,则航天器的()A.线速度v=GMRB.角速度ω=gRC.运行周期T=2πRgD.向心加速度a=GmR2解析:选AC.对航天器:GMmR2=mv2R,v=GMR,故A正确.由mg=mω2R得ω=gR,故B错误.由mg=m2πT2R得T=2πRg,故C正确.由GMmR2=ma得a=GMR2,故D项错误.9.(2012·浙江重点中学联考)组成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样的星球有一个最大的自转速率,如果超过了该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动,由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且分布均匀的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是()A.T=2πR3GMB.T=2π3R3GMC.T=πGρD.T=3πGρ解析:选AD.设星球半径为R、密度为ρ、质量为M,则由GMmR2=m2πT2R,得T=2πR3GM;再有ρ=MV=4π2R3/GT24πR3/3=3πGT2,故A、D正确.10.已知地球质量为M,半径为R,自转周期为T,地球同步卫星质量为m,引力常量为G.有关同步卫星,下列表述正确的是()A.卫星距地面的高度为3GMT24π2B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度C.卫星运行时受到的向心力大小为GMmR2D.卫星运行的向心加速度大于地球表面的重力加速度解析:选B.对于地球同步卫星,F万=F向,F万=GMmr2=m4π2rT2=mv2r=ma向=F向得①r=R+h=3GMT24π2,可得h=3GMT24π2-R,A错误.得②v=GMr=GMR+h,而第一宇宙速度v0=GMR,vv0,故B正确.得③F向=F万=GMmr2=GMmR+h2,故C错误.得④a向=GMr2=GMR+h2而g=GMR2,故a向g,D错误.三、非选择题11.(2012·温州六校联合体模拟)宇航员在一行星上以10m/s的初速度竖直上抛一质量为0.2kg的物体,不计阻力,经2.5s后落回手中,已知该星球半径为7220km.(1)该星球表面的重力加速度是多大?(2)要使物体沿水平方向抛出而不落回星球表面,沿星球表面抛出的速度至少是多大?(3)若物体距离星球无穷远处时其引力势能为零,则当物体距离星球球心r时其引力势能Ep=-GmMr(式中m为物体的质量,M为星球的质量,G为引力常量).问要使物体沿竖直方向抛出而不落回星球表面,沿星球表面抛出的速度至少是多大?解析:(1)由匀变速运动规律知g′=2v0t=2×102.5m/s2=8m/s2.(2)由万有引力定律得mg′=mv21Rv1=g′R=8×7220×1000m/s=7600m/s.(3)由机械能守恒,得12mv22+(-GmMR)=0+0因为g′=GMR2所以v2=2g′R=2×8×7220×1000m/s=76002m/s≈10746m/s.答案:(1)8m/s2(2)7600m/s(3)10746m/s12.(2011·高考安徽卷)(1)开普勒行星运动第三定律指出:行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比,即a3T2=k,k是一个对所有行星都相同的常量.将行星绕太阳的运动按圆周运动处理,请你推导出太阳系中该常量k的表达式.已知引力常量为G,太阳的质量为M太.(2)开普勒定律不仅适用于太阳系,它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立.经测定月地距离为3.84×108m,月球绕地球运动的周期为2.36×106s,试计算地球的质量M地.(G=6.67×10-11N·m2/kg2,结果保留一位有效数字)解析:(1)因行星绕太阳做圆周运动,于是轨道半长轴a即为轨道半径r,根据万有引力定律和牛顿第二定律有Gm行M太r2=m行2πT2r于是有r3T2=G4π2M太①即k=G4π2M太.(2)在地月系统中,设月球绕地球运动的轨道半径为R,周期为T,由①式可得R3T2=G4π2M地解得M地=6×1024kg.答案:(1)k=GM太4π2(2)6×1024kg