2013高考理科数学二轮过关检测5

过关检测(五)解析几何(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2012·郑州二模)直线x＋2ay－5＝0与直线ax＋4y＋2＝0平行，则a的值为()．A．2B．±2C.2D．±22．已知直线x＋y＋a＝0与圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0有交点，则实数a的取值范围是()．A．[－2,2]B．(－2,2)C．[－2，2]D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)3．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()．A.34B．1C.54D.744．(2012·湖南十二校联考)已知实数m,6，－9构成一个等比数列，则圆锥曲线x2m＋y2＝1的离心率为()．A.52B.5C.32D.35．(2012·青岛一模)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－1)2＝16．(2012·咸阳二模)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线x29－y23＝1的两条渐近线所围成的三角形面积是()．A.3B．23C．2D．337．过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若AB→＝12BC→，则双曲线的离心率是()．A.2B.3C.5D.108．已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()．A.5＋12B.2＋1C.3＋1D.22＋129．已知P为抛物线x2＝4y上一个动点，Q是圆(x－4)2＋y2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是()．A．5B．8C.17－1D.5＋210．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝111．(2012·武汉二模)两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为()．A.19B.49C．1D．312．(2012·东营一模)直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A、B两点，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋12＝0的距离等于()．A.74B．2C.94D．4二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．(2012·孝感二模)过抛物线y2＝4x的焦点，且被圆x2＋y2－4x＋2y＝0截得弦最长的直线的方程是________．12．若点P在直线l1：x＋my＋3＝0上，过点P的直线l2与圆C：(x－5)2＋y2＝16只有一个公共点M，且|PM|的最小值为4，则m＝________.13．(2012·郑州二模)已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝px(p＞0)的焦点F，且与y轴相交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为1，则p＝________.14．(2012·济南二模)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为________．三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，其中左焦点F(－2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．16.(10分)(2012·泰安一模)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与抛物线y2＝4x有共同的焦点F，且两曲线在第一象限的交点为M，满足|MF|＝53.(1)求椭圆的方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆交于A、B两点，满足PA→·PB→＝－52，求直线l的方程．17．(10分)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．18．(12分)(2012·安徽)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝a2c于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．19．(12分)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．参考答案过关检测(五)解析几何1．D2．A[圆的圆心为C(2，－2)，半径为r＝2，依题意得|2－2＋a|2≤2，解得－2≤a≤2.]3．C[如图，过A、B及线段AB的中点C向抛物线的准线l作垂线．垂足分别为A1，B1，C1，CC1交y轴于C0.由抛物线定义可知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|，∴|CC0|＝|CC1|－|C1C0|＝12(|AA1|＋|BB1|)－|C1C0|＝32－14＝54，故选C.]4．B5．C[抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，则a＝1，b＝0.r＝|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.]6．D[抛物线y2＝－12x的准线为：x＝3.双曲线x29－y23＝1的渐近线方程为：y＝±33x.则围成的三角形面积为S＝12×3×23＝33.]7．C[直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于Ba2a＋b，aba＋b，l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于Ca2a－b，－aba－b，A(a，0)，AB→＝－aba＋b，aba＋b，BC→＝2a2ba2－b2，－2a2ba2－b2.∵AB→＝12BC→，∴－aba＋b＝a2ba2－b2，b＝2a，∴c2－a2＝4a2，∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5，故选C.]8．B[如图所示：由抛物线的定义知|AF|＝2p＝2c.再由双曲线的定义知：|AF′|－|AF|＝2a.又|AF′|＝4c2＋4c2＝22c，∴22c－2c＝2a，∴e＝ca＝12－1＝2＋1.]9．C[由抛物线定义知，点P到抛物线准线的距离等于到焦点的距离，所以问题转化为抛物线上的点到圆上的点和到焦点的距离之和的最小值，易知此最小值即为圆心到焦点的距离减去圆的半径．抛物线的焦点坐标为(0,1)，圆的圆心坐标为(4,0)，半径为1，故点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值为4－02＋0－12－1，即17－1.]10．A[∵双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]11．解析依题意知所求直线过圆x2＋y2－4x＋2y＝0的圆心．设所求直线方程为：y＝k(x－1)，则－1＝k(2－1)，得：k＝－1，故所求直线方程为：x＋y－1＝0.答案x＋y－1＝012．解析画出图形，由题意l2与圆C只一个交点，说明l2是圆C的切线，由于|PM|2＝|PC|2－|CM|2＝|PC|2－16，所以要|PM|最小，只需|PC|最小，即点C到l1的距离|5＋0＋3|1＋m2＝81＋m2，所以|PM|的最小值为81＋m2－16＝4，解得m＝±1.答案±113．解析设直线l的方程为：y＝2x－p4，令x＝0，y＝－p2，即点A坐标为0，－p2.∴S△OAF＝12|OF|×|OA|＝12×p4×p2＝p216＝1，∴p＝4.答案414．解析依题意知△OFG(G为垂足)为等腰直角三角形，则bc2a＝c2，即a＝b，故双曲线为等轴双曲线，离心率为2.答案215．解(1)由题意得ca＝22，c＝2，a2＝b2＋c2，解得a＝22，b＝2.∴椭圆C的方程为x28＋y24＝1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由x28＋y24＝1，y＝x＋m消y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0.∴Δ＝96－8m2＞0∴－23＜m＜23.∴x0＝x1＋x22＝－2m3，y0＝x0＋m＝m3.∵点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴－2m32＋m32＝1，∴m＝±355.16．解(1)由题意可知抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∵|MF|＝53，且点M在抛物线上，∴点M的横坐标为xM＝53－1＝23.y2M＝4xM＝83.又点M在椭圆x2a2＋y2b2＝1上，∴49a2＋83b2＝1，c＝1，∴a2＝4，b2＝3.∴椭圆的方程为x24＋y23＝1.(2)①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝0.∴A(0，3)，B(0，－3)，∴PA→＝(0，3－1)，PB→＝(0，－3－1)，∴PA→·PB→＝－2≠－52.∴当斜率不存在时，直线l不满足条件．②当斜率存在时，可设在l的方程为y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24＋y23＝1，y＝kx＋1可得：(4k2＋3)x2＋8kx－8＝0，x1x2＝－84k2＋3，又PA→＝(x1，y1－1)＝(x1，kx1)，PB→＝(x2，y2－1)＝(x2，kx2)，∴PA→·PB→＝x1x2＋k2x1x2＝(1＋k2)x1x2，∴－8k2＋14k2＋3＝－52，∴k2＝14即k＝±12，∴直线l的方程为y＝±12x＋1.17．解(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.18．解(1)法一由条件知P－c，b2a.故直线PF2的斜率为kPF2＝b2a－0－c－c＝－b22ac.因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝2acb2x－2ac2b2.故Qa2c，2a.由题设知，a2c＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为x24＋y23＝1.法二设直线x＝a2c与x轴交于点M.由条件知P－c，b2a.因为△PF1F2∽△F2MQ，所以|PF1||F2M|＝|F1F2||MQ|.即b2aa2c－c＝2c|MQ|，解得|MQ|＝2a.所以a2c＝4，2a＝4，解得a＝2，c＝1.故椭圆方程为x24＋y23＝1.(2)直线PQ的方程为y－2ab2a－2a＝x－a2c－c－a2c