初中数学基础知识及经典题型

初中数学参考资料第1页共47页例题讲解【例１】如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF。（1）求证：ΔBEF∽ΔCEG．（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【例２】如图二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点ABC且OA＝1OB＝OC＝3．（1）求此二次函数的解析式．（2）写出顶点坐标和对称轴方程．（3）点MN在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)且MN∥x轴求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．【例3】已知两个关于x的二次函数1y与当xk时，217y；且二次函数2y的图象的对称轴是直222112()2(0)612yyaxkkyyxx，，线1x．（1）求k的值；（2）求函数12yy，的表达式；（3）在同一直角坐标系内，问函数1y的图象与2y的图象是否有交点？请说明理由．图10MBDCEFGxA初中数学参考资料第2页共47页【例4】如图,抛物线24yxx与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.（1）求点A的坐标;（2）以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;（3）设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当462682S时,求x的取值范围.【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？初中数学参考资料第3页共47页【例5】如图，已知(4,0)A，(0,4)B，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式;（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P．【例6】如图，抛物线21:23Lyxx交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线1L向右平移2个单位后得到抛物线2L，2L交x轴于C、D两点.（1）求抛物线2L对应的函数表达式；（2）抛物线1L或2L在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线1L上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线2L上，请说明理由.解析过程及每步分值初中数学参考资料第4页共47页21133222CPQSCPCQxxx△3tan3BCCDBCD727【例7】如图，在矩形ABCD中，9AB，33AD，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQBD∥，交CD边于Q点，再把PQC△沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，PQR△与矩形ABCD重叠部分的面积为y．（1）求CQP的度数；（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上？（3）①求y与x之间的函数关系式；②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？解析过程及每步分值解：（1）如图，四边形ABCD是矩形，ABCDADBC，．又9AB，33AD，90C，9CD，33BC．，30CDB．PQBD∥，30CQPCDB．（2）如图1，由轴对称的性质可知，RPQCPQ△≌△，RPQCPQ，RPCP．由（1）知30CQP，60RPQCPQ，60RPB，2RPBP．CPx，PRx，33PBx．在RPB△中，根据题意得：2(33)xx，解这个方程得：23x．（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，023x≤，，DQCBPRABADC（备用图1）BADC（备用图2）DQCBPRA（图1）DQCBPRA（图2）FE初中数学参考资料第5页共47页72721331818322ERFSERFRxx△232yxRPQCPQ△≌△，当023x≤时，当R在矩形ABCD的外部时（如图2），2333x，在RtPFB△中，60RPB，22(33)PFBPx，又RPCPx，363RFRPPFx，在RtERF△中，30EFRPFB，36ERx．，RPQERFySS△△，当2333x时，2318183yxx．综上所述，y与x之间的函数解析式是：223(023)2318183(2333)xxyxxx≤．②矩形面积933273，当023x≤时，函数232yx随自变量的增大而增大，所以y的最大值是63，而矩形面积的727的值72737327，而7363，所以，当023x时，y的值不可能是矩形面积的727；当2333x时，根据题意，得：231818373xx，解这个方程，得332x，因为33233，所以332x不合题意，舍去．所以332x．综上所述，当332x时，PQR△与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的．初中数学参考资料第6页共47页第四章兴趣练习4.1代数部分1.已知：抛物线2yaxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程2540xx的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．yxBDOAEC初中数学参考资料第7页共47页2.已知，如图1，过点01E，作平行于x轴的直线l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、．（1）求点ABF、、的坐标；（2）求证：CFDF；（3）点P是抛物线214yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO⊥交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ△与CDF△相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．EDCAFBxOylEDCOFxy（图1）备用图初中数学参考资料第8页共47页3.已知矩形纸片OABC的长为4，宽为3，以长OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系；点P是OA边上的动点（与点OA、不重合），现将POC△沿PC翻折得到PEC△，再在AB边上选取适当的点D，将PAD△沿PD翻折，得到PFD△，使得直线PEPF、重合．（1）若点E落在BC边上，如图①，求点PCD、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点E落在矩形纸片OABC的内部，如图②，设OPxADy，，当x为何值时，y取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点PCD、、三点的抛物线上是否存在点Q，使PDQ△是以PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．CyEBFDAPxO图①ABDFECOPxy图②初中数学参考资料第9页共47页4.如图，已知抛物线243yxx交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．ODBCAxyE初中数学参考资料第10页共47页5.如图①，已知抛物线32bxaxy（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．yCAMOBx图①yCAOBx图②初中数学参考资料第11页共47页二、动态几何6.如图，在梯形ABCD中，906DCABAAD∥，°，厘米，4DC厘米，BC的坡度34i∶，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设PBQ△的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？7.已知：直线112yx与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使||AMMC的值最大，求出点M的坐标．CcDcAcBcQcPcyxODEABC初中数学参考资料第12页共47页8.已知：抛物线20yaxbxca的对称轴为1x，与x轴交于AB，两点，与y轴交于点C，其中30A，、02C，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC△的周长最小．请求出点P的坐标．（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DEPC∥交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，PDE△的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．9.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(24)，；矩形ABCD的顶点A与点O重合，ADAB、分别在x轴、y轴上，且2AD，3AB．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度．．．．．从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（03t≤≤），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当52t时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②设以PNCD、、、为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．ACxyBOyxMBCDOA图2PNEyxMBCDO(A)图1E初中数学参考资料第13页共47页10.已知抛物线：xxy22121．（1）求抛物线1y的顶点坐标．（2）将抛物线1y向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线2