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113.3全等三角形的判定知识点1三角形全等的识别方法1—SSS基本事实一如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形全等简记为“边边边”或“SSS”．应用格式：如图13–3–1所示，图13–3–1在△ABC和△A′B′C′中，ABABBCBCACAC∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．例1如图13–3–2所示，已知点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，AF=DE．求证：△ABF≌△DCE．图13–3–2分析：由BE=CF可得BE+EF=CF+EF，因此BF=CE．再根据AB=DC，AF=DE，可证明三角形全等．证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF(等式的性质)，即BF=CE．在△ABF和△DCE中，(,(),(),ABDCBFCEAFDE已知）已知已知∴△ABF≌△DCE(SSS)．点拨寻找相等的边时，经常要利用线段的和差关系．2知识点2三角形全等的识别方法2—SAS(重点、难点)基本事实二如果两个三角形的两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“边角边”或“SAS”．应用格式：如图13–3–1所示，在△ABC和△A′B′C′中，AAABABACAC，∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．提示：利用这种方法判断时要找准条件：两边及其夹角，而不是两边及其中一边的对角．例2如图13–3–3所示，已知AB⊥AC于点A，AD⊥AE于点A，AB=AC，AD=AE，求证：△BAE≌△CAD．图13–3–3分析：欲证明△BAE≌△CAD，已有条件AB=AC，AD=AE，因此只需再证明∠BAE=∠CAD即可．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE(已知)，∴∠BAC=∠DAE=90°(垂直的定义)，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE(等式的性质)，即∠BAE=∠CAD．在△BAE和△CAD中，((),(),ABACBAECADAEAD已知）,已证已知∴△BAE≌△CAD(SAS)．点拨寻找相等的角时，经常要利用角的和差关系、对顶角相等以及同角或等角的余(补)角相等等性质．知识点3三角形全等的识别方法3－ASA(重点)3基本事实三如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或“ASA”．应用格式：如图13–3–1所示，在△ABC和△A′B′C′中，AAABABBB，∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．例3如图13–3–4所示，AM是△ABC的中线，BE∥CF，求证：△BME≌△CMF．分析：由BE∥CF可得∠1=∠2，又∠3和∠4是对顶角，所以∠3=∠4．再根据AM是△ABC的中线可得BM=CM，因此△BME≌△CMF得以证明．证明：∵BE∥CF(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)∵AM是△ABC的中线，∴BM=CM(三角形中线的定义)．在△BME和△CMF中，12((),34(),BMCM已知）,已证对顶角相等∴△BME≌△CMF(ASA)．图13–3–4方法归纳题目中有平行线的条件时，常根据“线平行，角相等”来寻找相等的角．知识点4三角形全等的识别方法4－AAS(重点)全等三角形的判定定理：如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角角边”或“AAS”．应用格式：如图13–3–1所示，在△ABC和△A′B′C′中，AABBBCBC，∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)．总结：要使两个三角形全等，至少需要三个条件(其中必须有边)，对本节所探索的三角4形全等的条件可归纳如下：已知条件作出图形是否全等形成结论三边是SSS两边一角两边及其夹角是SAS两边及其一边的对角否无两角一边两角及其夹边是ASA两角及其一角的对边是AAS三角否无提示：(1)①“三条边对应．．相等”，②“两条边和它们的夹角对应．．相等”，③“两个角和它们的夹边对应．．相等”，④“两角和其中一角的对边对应．．相等”’都可以说明两个三角形全等，但一定要注意“对应．．”二字．(2)已知“三个内角对应相等”和“两边和其中一边的对角对应相等”都不能保证两个三角形一定全等，这一点同学们一定要记牢!例4如图13–3–5所示，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，E是BD上一点，且∠AEC=90°，BE=CD．求证：△ABC≌△EDC．图13–3–5分析：由AB⊥BD，CD⊥BD可得∠ABD=∠CDB=90°，因此∠1+∠2=90°，而∠AEC=90°，5可得∠2+∠3=90°，因此∠1=∠3，再利用BE=CD，可得三角形全等．证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD(已知)，∴∠B=∠D=90°(垂直的定义)，∴∠1+∠2=180°－∠B=90°(三角形内角和定理)．又∵∠2+∠AEC+∠3=180°(平角的定义)，∠AEC=90°(已知)，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3(同角的余角相等)．在△ABE和△EDC中，13(),(),(),BDBCDE已证已证已知∴△ABE≌△EDC(AAS)．方法归纳我们把本题中图形归结为一个基本图形：“K型”，要注意把握“K型”中的全等三角形．知识点5三角形的稳定性只要三角形的三边确定，它的形状和大小就完全确定了．三角形所具有的这一特殊性叫做三角形的稳定性．例5有一个五边形钢架ABCDE，由五根钢管交接而成，如图13–3–6所示，为使这一钢架稳固，则最少利用条钢管连接使它不能活动，你这样做的数学道理是．图13－3－6答案：2三角形的稳定性点拨(1)三角形的稳定性在生活和生产中应用很广，如一些物品和建筑中经常使用三角形结构．(2)四边形不具有稳定性．