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115.1二次根式知识点1二次根式的概念(重点)一般地，把形如(0)aa的式子叫做二次根式．如6，13，16，21a等都是二次根式．提示：对二次根式概念的理解应注意以下四点：(1)二次根式中都含有二次根号“”；(2)在二次根式中，被开方数a必须满足“a≥0，当a＜0时，式子a不叫二次根式；(3)在二次根式中，a可以是一个数也可以是含字母的代数式；(4)二次根式a(a≥0)是a的算术平方根，所以a≥0．其中，(1)(2)是二次根式具备的两个重要特征．例1下列各式，哪些是二次根式?哪些不是二次根式?说明理由．(1)6；(2)18；(3)2(5)；(4)38；(5)1156．解：因为6，2(5)25，1115630中都含有“”且被开方数大于0，所以是二次根式．因为18被开方数－18＜0，所以18不是二次根式．因为38不含“”，所以38不是二次根式．点拨要判断一个式子是不是二次根式，必须符合含有“”且被开方数是非负数这两个条件，只有同时满足这两个条件才是二次根式．知识点2二次根式的三个性质(难点)★a≥0(a≥0)，即一个非负数的算术平方根是一个非负数．★2()(0)aaa，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身．★2(0),=(0)aaaaaa，即一个任意数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值．总结：2()a与2a的性质的区别与联系如下表所示．2例2计算(1)234；(2)2(23)；(3)2(7)；(4)22()5．分析：(1)(2)题可利用性质2()(0)aaa进行计算；(3)(4)题可利用性质2(0),=(0)aaaaaa进行计算．解：(1)23344；(2)222(23)(2)(3)4312；(3)2(7)77；(4)2222()=555-．注意当0a时，2()aa，而2(0),=(0).aaaaaa知识点3积的算术平方根★积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因数的算术平方根的积，即(0,0).ababab注意：(1)a，b满足的条件是a≥0，b≥0．要防止出现4949这样的错误．(2)这个性质可推广，即(,,,,0)abcnabcnabcn．3例3化简：(1)300；(2)14112；(3)1619．分析：(1)300=3×102；(2)14×112=2×72×42；(3)(－16)×(－19)=16×9=42×32．解：(1)22300310310103．(2)222214112274274274=282．(3)222216916943434312．点拨如果没有特殊说明，本章中根号内所有字母均表示正数．所有符合0,0ababab这个公式的可直接应用公式．对于第(3)个式子，先利用同号得正，化为两个正因数积的形式，再利用公式计算．知识点4商的算术平方根的性质(难点)★商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即()(0,0)aaabababbb或．注意：(1)在(0,0)aaabbb中a必须是非负数，b必须是正数才成立，如果a，b都是负数，虽然ab有意义，但是a、b在实数范围内无意义，如991616，而99931616416．若0b，则ab无意义．(2)如果被开方数是带分数，应先化成假分数，如124必须先化成94，注意112244．例4化简：(1)459；(2)81125144；(3)12116；(4)5436．分析：这类题可直接用(0,0)aaabbb来化简，但要注意当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数．解：(1)44949759939；(2)8112581255955155144124144；(3)1211211116416；(4)545469696=3666236．点拨当被开方数中出现不完全平方数时，先把这个数分解因数．如：54=6×9．知识点5最简二次根式(重点)4★一般地，如果一个二次根式满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，那么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式．★将二次根式化成最简二次根式的步骤：(1)根号下有带分数或小数的要把根号下的带分数化成假分数，小数化成分数；(2)被开方数不是完全平方数时，看能不能先进行因数分解，能分解的先分解因数；(3)将被开方式中开得尽方的因数，用它的算术平方根代替后移到根号外；(4)化去分母中的根号，如果根号内的分母是一个平方数，可直接利用商的算术平方根的性质，分子、分母分别开方；如果分母不能开得尽方，则被开方数中的分子、分母同乘一个适当的不为零的数，使分母成为一个平方数，其根据是分式的基本性质；(5)约分．例5下列各式中是最简二次根式的是()A．13B．8C．6D．2(4)3解析：A中被开方式含有分母；B中含有能开方的8；D中含有(－4)2即42，可以开方，C中的6不能分解为能开方的因数，故选C．答案：C点拨判断所给式子是否为最简二次根式，必须同时考虑两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．两者缺一不可．例6把下列各式化为最简二次根式：(1)5312；(2)40.125；(3)149642；(4)904．分析：(1)应用(0,0)aaabbb化简；(2)先把0.125化为18，再化简；(3)应用(0,0)ababab化简；(4)应用(0,0)ababab化简．解：(1)5512360415215153312121212442；(2)112240.12544428824；(3)111496449647828222；(4)310904904910291022．点拨(1)在对二次根式进行化简时，如果被开方数是一个整数，一般先将被开方数写成一个平方数与另一个数的积的形式；(2)当被开方数是带分数时应化为假分数；(3)在二次根式化5简时，当被开方数是一个分数时，分子开出来的还是分子，分母开出来的还是分母；(4)二次根式无论是计算还是化简，结果必须化为最简形式．