2015级大学物理-I-计算题-03电学-有答案

12015级大学物理I复习题-03电学【重点考核知识点】1.电场强度的概念，由电场强度叠加原理求带电体的电场强度分布。⑴公式①点电荷的电场强度分布：rerQE204②由电场强度叠加原理求点电荷系的电场强度分布：iriiierQE204③视为点电荷的qd的电场强度分布：rerqE204dd④由电场强度叠加原理求连续带电体的电场强度分布：QrerqEE204dd⑤由电荷密度表示的qd：电荷体分布：Vqdd电荷面分布：Sqdd电荷线分布：lqdd⑥均匀带电球面的电场强度分布：)(4)(020RrrQRrE，方向：沿径向。⑦无限长均匀带电直线的电场强度分布：rE02，方向：与带电直线垂直。⑧无限大均匀带电平面的电场强度分布：02E，方向：与带电平面垂直。⑵相关例题和作业题【例10.2.1】求电偶极子轴线和中垂线上任意一点处的电场强度。解：⑴以q连线中点为原点，由q指向q方向建坐标轴，如图10.2.3（a）所示，在距O点为x远处P点，由场强叠加原理，EEE2其大小EEE其中20)2/(41lxqE20)2/(41lxqE22202204/242/12/14lxxlqlxlxqEEE对于电偶极子来说，考虑到lx，上式中2224/xlx。于是得点P处的总的电场强度E的大小为3042xqlE，E的方向沿Ox轴正方向。⑵建立坐标轴如图10.2.3（b）所示，同理在y轴上离O点y远处P′点的EEE点电荷+q和-q在点P′处产生的电场强度大小相等，其值为204rqEE其中222lyrrr，由分量式cos2coscosEEEEEExxx0sinsinEEEEEyyy＋式中42cos22lyl，所以qEqOPrEylxE图10.2.3（b）电偶极子中垂线上一点的电场强度qEqOPxEx2l2l图10.2.3(a)电偶极子323220441lyqlEExE的方向沿Ox轴的负向。考虑到电偶极子ly，上式中2224yly，于是可得总的电场强度为iyqlE304【例10.2.3】一均匀带电细半圆环，半径为R，带电量为Q，求环心O处的电场强度。如图10.2.6所示解：建立如图所示的直角坐标系，在带电细圆环上任取一线元ld，所带元电荷量为lqdd式中为线电荷密度，其值为RQ电荷元qd在环心O处产生的电场强度Ed的大小为20204d4ddRlRqE方向如图所示。Ed在x轴方向和y轴方向的分量分别为cos4dcosdd20RlEExsin4dsindd20RlEEy根据对称性分析，可知0dxxEE，所以带电半圆环在环心O处产生的电场强度为qddxEdyEdEdxyRO图10.2.6带电半圆环环心处的电场强度4LyylREEEdsin4d20又因为ddRl，RQ，代入上式，积分后可得202RQE负号说明电场强度E的方向沿y轴负方向，大小则为202RQ。【10.1】四个点电荷到坐标原点的距离均为d，如题10.1图所示，求点O的电场强度的大小和方向。解：由图所示x轴上两点电荷在O点产生场强为idqidqidqiEiEEqq2020202143442y轴上两点电荷在点O产生场强为jdqjdqjdqjEjEEqq2020202243442所以，点O处总场强为jdqidqEEEO2020214343大小为202221423dqEEEO，方向与x轴正向成45角。【10.4】正方形的边长为a，四个顶点都放有电荷，求如题10.4图所示的4种情况下，其中心处的电场强度。解：在四种情况下，均以中心O为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立坐标系，则有(a)根据对称性，四个顶点处的电荷在中心处产生的场强两两相互抵消。所以0aE)(aqqqqO)(bqqqqO)(cqqqqO)(dqqqqO题图10.4题图10.15(b)根据对称性，电荷在中心处产生的场强在x轴上抵消,只有y轴上的分量，所以jaqjaaqjEEqyb20220245cos)2/()2/(444(c)根据对称性，对角线上的电荷在中心处的场强可以相互抵消，所以0cE(d)根据对称性，电荷在中心处产生的场强在y轴上抵消,只有x轴上的分量，所以iaqiaaqiEEqxd20220245sin)2/()2/(444【10.6】长为15.0cm的直导线AB，其上均匀分布着线密度19mC100.5的正电荷，如题图10.6所示。求⑴在导线的延长线上与导线B端相距为5cm的点P的场强。解：⑴取点P为坐标原点，x轴向右为正，如题10.6(a)所示。设带电直导线上一小段电荷xqdd至点P距离为x，它在点P产生的场强为20d41dxxEP（沿x轴正向）由于各小段导线在点P产生的场强方向相同，于是　12005.02.020mV1075.6)2.0105.01(4d4dxxEE方向水平向右。【10.8】如题图10.8(a)所示，电荷线密度为1的无限长均匀带电直线，其旁垂直放置电荷线密度为2的有限长均匀带电直线AB，两者位于同一平面内，求AB所受的静题图10.8A12BabOA12Bxxdx(a)(b)cm15cm5xdxABPx6电力。解：如图10.8(b)所示，建立坐标系，取线元dx，其带电量为xqdd2，受力为xxqEFd2dd201方向沿x轴正向。直线AB受力为abaxxFFbaaBAln22dd021021方向沿x轴正向。2.电通量的计算。⑴公式SSeSESEdcosd⑵相关例题和作业题【10.9】有一非均匀电场，其场强为ikxEE)(0，求通过如题图10.9所示的边长为0.53m的立方体的电场强度通量。（式中k为一常量）解：由于E只有x方向的分量kxEEx0，故电场线只穿过垂直于x轴，且位于01x和m53.02x处的两个立方体面1S和2S。考虑到这两个面的外法线方向相反，故有kSkESESESESESxSxSe15.0)53.0(ddd20102211　　　　3.用真空中的高斯定理计算电荷分布具有对称性的连续带电体的电场强度分布。⑴公式①均匀带电球面/球体/球壳：选同心球面为高斯面S，由高斯定理得024ddiiSSQrESESE204rQEii，方向：沿径向。②无限长均匀带电直线/圆柱面/圆柱体/圆柱壳：选同轴圆柱面为高斯面S，其中S1、S2为上下底面，S3为侧面，h为柱高，由高斯定理得O1S2Sxyz题图10.97032ddddd3321iiSSSSSQrhEESSESESESESErhQEii02，方向：沿径向。③无限大均匀带电平面的电场强度分布：平面两边分别为均匀电场，E的方向与带电平面垂直，大小为02E，其中为均匀带电平面的电荷面密度。⑵相关例题和作业题【例10.3.1】设有一半径为R带电量为Q的均匀球体。求：球体内部和外部空间的电场强度分布。解：首先分析E空间分布的特性，由于电荷分布具有球对称性，故E方向沿球半径方向，且E的大小在同一球面上都相等。故取高斯面为同心球面。⑴过P点取半径为r（rR）的高斯球面如图10.3.7（a）所示。由高斯定理内内iSqSE01d其中24drESES内内33333343434RrQRQrrqi内30324RQrrE内ORQrPSORQrPS（a）（b）图10.3.7均匀带电球体的场强8304RrQE内方向沿径矢方向。⑵同理取半径r(rR)的高斯球面外外iSqSE01d如图10.3.7(b)所示。024QrE外204rQE外方向沿径矢方向。由此可见，均匀带电球体在其外部空间产生的电场强度，与等量电荷全部集中在球心时产生的电场强度值相同。根据以上的计算可得均匀带电球体的E-r曲线，如图10.3.8所示，从曲线可以看出，在球体内（rR），E随r的增加而线性增加，在球面上（r=R），E达到极大值，在球体外（rR），E与2r成反比，即（21rE）。【例10.3.2】求无限长均匀带电直线的电场强度分布。21rEOREr204RQ图10.3.8均匀带电球体的E-r曲线图面斯高hrErO图10.3.9无限长均匀带电直线的电场9解：由于带电直线无限长，且其上电荷分布均匀，所以其产生的电场强度E沿垂直于该直线的径矢方向，而且在距直线等距离各点处的电场强度大小相等，即无限长均匀带电直线的电场分布具有柱对称性。如图10.3.9所示，以带电直线为轴线，r为半径，作一高为h的圆柱体的表面为高斯面。由于电场强度E的方向与上、下底面的法线方向垂直，所以通过圆柱两个底面的电场强度通量为零，而通过圆柱侧面的电场强度通量为E2rh，所以通过该高斯面的电场强度通量为rhErhESESESESES2020dddd＝上底侧下底该高斯面所包围的电荷量为hqi内根据高斯定理有rhESES2d0h由此可得rE02即无限长均匀带电直线外某点处的电场强度，与该点距带电直线的垂直距离r成反比，与电荷线密度成正比。【例10.3.3】设有一无限大的均匀带电平面，其电荷面密度为，求距该平面为r处某点的电场强度。解：首先分析)(rE分布特点，因为是无限大均匀带电平面。故)(rE方向必垂直于带电平面，由带电平面两侧附近的电场具有镜像对称性，)(rE大小在两侧距带电平面等距离各点处相等。为此选取如图10.3.10所示的闭合圆柱面为高斯面。图10.3.10无限大均匀带电平面的电场10由高斯定理内SSqSE001d左方ESESESSESESESES20dddd＋右底侧左底该高斯面内所包围的电荷量为Sqi内ESSES2d0S得02E可见，无限大均匀带电平面产生的电场为匀强电场，方向与带电平面垂直。若平面带的电荷为正（0），则电场强度的方向垂直于平面向外；若平面带的电荷为负（0），则电场强度的方向垂直于平面向内，如图10.3.11所示。利用上面的结论和电场强度叠加原理，可求得两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场分布，如图10.3.12所示。设两带电平面的面电荷密度分别为和（0），两带电平面的电场强度大小相等均为02E，而它们的方向，在两平面之间的区域，方向是相同的；在两平面之外的区域，方向则是相反的。所以，在两带电平面外侧的电场强度为零，在两平面之间的电场强度大小为00022E其方向由带正电平面指向带负电平面。++++++++--------00图10.3.11无限大均匀带电平面场强方向11【10.10】设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面的轴平行，求通过此半球面的电场强度通量。解：作半径为R的大圆平面S与半球面S一起构成闭合曲面，由于闭合曲面内无电荷