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版权所有：中华资源库学年福建省漳州市龙海市程溪中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015春•龙海市校级期中）设复数z的共轭复数是，z=3+i，则等于（）A．3+iB．3﹣iC．i+D．+i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：由已知求出，代入化简计算．解答：解：z=3+i，所以=3﹣i，则；故选：D．点评：本题考查了复数的共轭复数以及复数的除法运算；属于基础题．2．（5分）（2015春•龙海市校级期中）若a∈{1，2，3，5}，b∈{1，2，3，5}，则方程y=x表示的不同直线条数为（）A．11B．12C．13D．14考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：先不考虑重复情况，有16种情况，再减去其中斜率为1时重复三次，故可得答案．解答：解：由题意，不考虑重复情况，有4×4=16种情况，其中斜率为1时重复三次，故方程y=x表不同的直线有16﹣3=13条，故选：C点评：本题以直线为载体，考查排列问题，注意排除重复情况．3．（5分）（2014秋•崇义县校级期末）以正弦曲线y=sinx上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）A．∪B．[0，π）C．D．∪考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．版权所有：中华资源库解答：解：y'=cosx∵cosx∈[﹣1，1]∴切线的斜率范围是[﹣1，1]∴倾斜角的范围是[0，]∪故选A点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，导函数的基本知识．考查了学生对基础知识的灵活运用．4．（5分）已知Cn+17﹣Cn7=Cn8，那么n的值是（）A．12B．13C．14D．15考点：组合及组合数公式．专题：计算题．分析：根据题意，由组合数的性质，可得Cn8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，再结合组合数的性质，分析可得答案．解答：解：根据题意，Cn+17﹣Cn7=Cn8，变形可得，Cn+17=Cn8+Cn7，由组合数的性质，可得Cn8+Cn7=Cn+18，即Cn+17=Cn+18，进而可得8+7=n+1，解可得n=14，故选C．点评：本题考查组合数的性质，Cnm+Cnm﹣1=Cn+1m是一个常用的性质．5．（5分）（2015春•龙海市校级期中）函数y=x2ex的单调递减区间是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）与（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）与（0，+∞）D．（﹣2，0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：由y′=2xex+x2ex≤0，解得x的取值范围即可．解答：解：由y′=2xex+x2ex＜0，解得﹣2＜x＜0．∴函数y=x2ex的单调递减区间是（﹣2，0）．故选D．点评：熟练掌握原理导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．6．（5分）“可导函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据函数极值的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．版权所有：中华资源库解答：解：函数y=f（x）在一点的导数值是0，则函数y=f（x）在这点不一定取极值，比如函数f（x）=x3，满足f'（0）=0，但x=0不是极值．若函数y=f（x）在这点取极值，则根据极值的定义可知，y=f（x）在一点的导数值是0成立，∴“函数y=f（x）在一点的导数值是0”是“函数y=f（x）在这点取极值”必要不充分条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数极值的定义和性质是解决本题的关键．7．（5分）（2015春•龙海市校级期中）函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0B．C．D．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：先求导函数，令导数等于0求出满足条件的x，然后讨论导数符号，从而求出何时函数取最大值．解答：解：y′=1﹣2sinx=0x∈[0，]解得：x=当x∈（0，）时，y′＞0，∴函数在（0，）上单调递增当x∈（，）时，y′＜0，∴函数在（，）上单调递减，∴函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时x=故选B．点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用导数研究函数的最值，属于中档题．8．（5分）（2014•昌邑区校级三模）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（）A．B．个C．个D．个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：先求从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数，再求出后接4个数字组成的方法数，由此可得结论．版权所有：中华资源库解答：解：先从26个英文字母中选出2个英文字母的方法数为，后接4个数字组成的方法数为∴由分步计数原理可得不相同的牌照号码共个故选A．点评：本题考查排列知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．9．（5分）（2015春•祁县校级期中）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算．解答：解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x﹣）|=；故选C．点评：本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．10．（5分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为（）A．3B．C．2D．考点：导数的运算．专题：综合题；压轴题．分析：先求导，由f′（0）＞0可得b＞0，因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．解答：解：∵f'（x）=2ax+b，版权所有：中华资源库∴f'（0）=b＞0；∵对于任意实数x都有f（x）≥0，∴a＞0且b2﹣4ac≤0，∴b2≤4ac，∴c＞0；∴，当a=c时取等号．故选C．点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11．（4分）（2015春•龙海市校级期中）dx=+．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的几何意义，所求表示如图所示的阴影部分的面积，分割法求之．解答：解：dx=2dx，由定积分的几何意义，dx所求表示如图阴影部分的面积，即直角三角形OAB与扇形OAC的面积和，其中AB=，∠AOC=30°故S阴影=S扇形BOC+S△AOB=×π×4+=+，∴dx=2dx=+，故答案为：+．版权所有：中华资源库点评：本题考查了定积分的几何意义的运用；关键是明确所求对应的几何图形．12．（4分）（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是﹣120．考点：二项式定理．专题：计算题．分析：将问题转化为二项式（1﹣2x）5的展开式的系数问题，求出（1﹣2x）5展开式的通项，分别令r=2，3求出（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数．解答：解：（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是（1﹣2x）5展开式中x3项的系数的2倍与（1﹣2x）5展开式中x2项的系数的和∵（1﹣2x）5展开式的通项为Tr+1=（﹣2）rC5rxr令r=3得到x3项的系数为﹣8C53=﹣80令r=2得到x2项的系数为4C52=40所以（1﹣2x）5（2+x）的展开式中x3项的系数是﹣80×2+40=﹣120故答案为﹣120点评：解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式．13．（4分）（2015春•龙海市校级期中）定义在R上的可导函数f（x），已知y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是R考点：函数的单调性与导数的关系．专题：导数的概念及应用．分析：通过图象得到f′（x）＞0在R上恒成立，从而求出函数f（x）的单调区间．解答：解：由图象得：f′（x）＞0在R上恒成立，∴函数y=f（x）在R上递增，故答案为：R．点评：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题．14．（4分）已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=32．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f（x）的单调性，列出在区间[﹣3，3]上f（x）的单调性、导函数f'（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．解答：解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：版权所有：中华资源库=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案为：32点评：本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考，要引起重视．15．（4分）（2015春•龙海市校级期中）如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD•BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有．考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：利用类比推理，将平面中的线与空间中的面类比，得到类比结论．通过连接DM，据BC⊥AM，BC⊥AD得到BC⊥ADE得到BC⊥ED得到满足平面条件的三角形AED，利用平面三角形的性质得证解答：解：由已知在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2=BD•BC；类比：三棱锥A﹣BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S△ABC2=S△BCM•S△BCD．在图（2）中，连接DM，并延长交BC于E，连接AE，则有DE⊥BC．因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE．又AM⊥DE，所以AE2=EM•ED．于是S△ABC2=（BC•AE）2=（BC•EM）•（BC•ED）=S△BCM•S△BCD．故有S△ABC2=S△BCM•S△BCD点评：本题考查类比推理及利用平面的性质证明空间的结论．考查空间想象能力，逻辑思维能力．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（13分）（2015春•龙海市校级期中）已知（+x2）2n的展开式的系数和比（3x﹣1）n的展开式的系数和大992．求在（2x﹣）2n的展开式中：（1）常数项（用数字表示）；（2）二项式系数最大的项．．版权所有：中华资源库考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：由已知的两个二项式的系数关系得到n，然后求出（2x﹣）2n的展开式通项，化简后取字母指数．解答：解：由题意得（+x2）2n的展开式的系数和为22n比（3x﹣1）n的展开式的系数和2n大992，所以22n﹣2n=992，解得n=5，所以（2x﹣）10的展开式通项为=，令10﹣2r=0，则r=5，所以常数项为；（2）在（2x﹣）10的展开式二项式系数最大的为，所以二项式系数最大的项为﹣8064．点评：本题考查了二项展开式的特征项求法；关键是正确写出展开式的通项，由此确定特征项．17．（13分）（2015春•龙海市校级期中）已知曲线（1）求曲线在点P（1，1）处的切线方程（2）求曲线过点P（1，0）处的切线方程．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切