2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验(二)试卷答案

2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page1of9第1页共9页北京交通大学2014~2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）试卷参考答案一．（本题满分10分）将一个表面涂有颜色的正方体等分为1000个小正方体，从这些小正方体中任取一个．令X表示所取的小正方体含有颜色的面数，求X的分布律（6分）及分布函数xF（4分）．解：X的取值为3,2,1,0．100083XP，1000962XP，10003841XP，10005120XP．所以，X的分布列为X0123P512.0384.0096.0008.0由X的分布列，知X的分布函数为3132992.021896.010512.000xxxxxxF．二．（本题满分10分）设随机变量X的密度函数为其它05.002xxcxxp．⑴求常数c（5分）；⑵求X的分布函数xF（5分）．解：⑴由密度函数的性质1dxxp，得2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page2of9第2页共9页812421315.00235.0025.05.000cxxcdxxcxdxxpdxxpdxxpdxxp，解方程，得21c．⑵当0x时，0xdttfxF；当5.00x时，2721230200xxdtttdttfdttfdttfxFxxx；当5.0x时，15.05.000xxdttfdttfdttfdttfxF．综上所述，随机变量X的分布函数为5.015.00270023xxxxxxF．三．（本题满分10分）设随机变量X的密度函数为其它0102xxxfX．现对X进行独立重复观察，令Y表示随机事件21X第2次发生时所需要的观察次数．试求随机变量Y的分布律．解：随机事件21X的概率41221210221021xxdxdxxfXPp．随机变量Y的可能取值为,4,3,2，而且发生次观察中事件次，第发生次观察中事件前AkAkPkYP11发生次观察中事件第次发生次观察中事件前AkPAkP11pppCkk21112014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page3of9第3页共9页2211kppk22411411kk2431611kk因此，随机变量Y的分布律为2431611kkkYP，,4,3,2k．四．（本题满分10分）设随机变量X与Y相互独立，且都服从标准正态分布1,0N．令随机变量22YXZ．⑴试求随机变量Z的密度函数zfZ（5分）．⑵试求ZE（5分）．解：⑴由题意，得2221xXexfx，2221yyeyfy．设随机变量22YXZ的分布函数为zFZ，则zYXPzZPzFZ22当0z时，022PzYXPzFZ；当0z时，zyxYXZdxdyyfxfzYXPzF2222zyxyxdxdye2222221作极坐标变换sin,cosryrx，则有2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page4of9第4页共9页zrzrZrdrerdredzF0202202221所以，随机变量22YXZ的分布函数为000022zzrdrezFzrZ所以，随机变量22YXZ的密度函数为00022zzzezFzfzZZ⑵0202022222dzezedzezdzzfzZEzzzz2222120222dzedzezz．五．（本题满分10分）设二维随机变量YX,的联合密度函数为其它020,101,xyxyxf求：⑴随机变量Y边缘密度函数yfY（6分）；⑵方差YD（4分）．解：⑴dxyxfyfY,．因此，当0y或者2y时，0yfY．当20y时，2,20ydxdxyxfyfyY．所以，其它0202yyyfY．⑵34621203202ydyydyyyfYEY．2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page5of9第5页共9页282120420322ydyydyyfyYEY所以，929162342222YEYEYD．六．（本题满分10分）某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为70件、20件、10件．现从中抽取一件产品，记其它若抽到为一等品01X其它若抽到为二等品01Y试求X与Y的相关系数（6分），并判断X与Y是否相互独立（4分）？解：YX，的联合分布律及各自的边缘分布律为YX01ip00.10.20.310.700.7jp0.80.2所以，7.0XE，21.0XD，2.0YE，16.0YD．又0XYE，所以，14.0covYEXEXYEYX，7638.016.021.014.0covDYDXYX，，由于0，所以随机变量X与Y相关，从而随机变量X与Y不独立．七．（本题满分10分）记掷n颗均匀的骰子点数之和为X，求期望XE（6分）与方差XD（4分）．2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page6of9第6页共9页解：以kX表示掷第k颗均匀的骰子出现的点数，nk,,2,1，则随机变量nXXX,,,21相互独立，而且同分布，nkkXX1．kX的分布列为P123456kX616161616161所以，27621616161kkkkkXPkXE．691616126122kkkkkXPkXE所以，1235273691var222kkkXEXEX．因此，nXEXEXEnknkknkk2727111．再由nXXX,,,21的相互独立性，得nXDXDXDnknkknkk12351235111．八．（本题满分10分）设随机变量X与Y相互独立，而且都服从参数为的指数分布，令YXVYXU3,34，试求二维随机变量VU,的相关系数VU,．解：因为X与Y都服从参数为的指数分布，所以1YEXE，21varvarYX．于是有2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page7of9第7页共9页113143434YEXEYXEUE，411333YEXEYXEVE．再由X与Y的相互独立性，得2222519116var9var1634varvarYXYXU，22210119var93varvarYEXYXV．223512334YXYXEYXYXEUVE223512YEXYEXE22var35var12YEYYEXEXEX222211311511122222136524．所以有2294113,covVEUEUVEVU．因此有105910259varvar,cov222,VUVUVU．九．（本题满分10分）从区间1,0中任意取出两个数，求这两个数的乘积不小于163，而且其和不大于1的概率．解：设从区间1,0任意取出的两个数分别是X与Y，则随机变量X与Y相互独立，而且都服从区间1,0上的均匀分布．因此二维随机变量YX,的联合密度函数为其它010,101,yxyxf．所求概率为1,163YXXYP．由二维连续型随机变量概率的计算方法，有2014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page8of9第8页共9页1,163,1,163yxxydxdyyxfYXXYP4341116343411631dxxxdydxxx0440.03ln16341ln163243412xxx．十．（本题满分10分）某商店按季节出售某种应时商品，每出售1公斤获利润100元，如到季末尚有剩余商品，则每公斤净亏损60元．又设该商店在季度内这种商品的出售量X（单位：公斤）是一个随机变量，且X服从区间2000,1000上的均匀分布．为使商店所获利润的数学期望为最大，问该商店应进多少货？解：随机变量X的密度函数为其它02000100010001xxfX设该商店进货s公斤，Y是该商店所得利润，则有XsXsXXssXHY60100100即XssXXssXHY60160100所以，dxxfxHXHEYEX20001000100100016016010001sssdxdxsxsssss2000100010010001000608000000080100012令：ssssssg20001000100100010006080000000801000122014-2015学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（二）答案Page9of9第9页共9页则sssssg254260210001002006021000602100080令0sg，得驻点16250s，并且可以判别16250s是函数sg的最大值点，因此当该商店进货16250s公斤时，商店所得利润的数学期望为最大．