2015自主招生辅导(运动学与力学综合)答案

10自主招生力学训练一．运动学1．如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D。BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v解法一：应用微元法设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BB’，如图所示。过B’点作B’E⊥BD。当Δt→0时，∠BDB’极小，在△BDB’中，可以认为DE=B’D。在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BB’+BE，即为在Δt时间内绳子收缩的长度。由图可知：BE=cos'BB①由速度的定义：物体移动的速度为v物=tBBts'=1②人拉绳子的速度v0=tBBtBEBBts)cos+1('=+'=2③由①②③解之：v物=cos+10v解法二：应用合运动与分运动的关系物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v物。根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动。也就是说“物体”的方向（更直接点是滑轮的方向）是合速度方向，与物体连接的BD绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v物cosa因此绳子上总的速度为v物+v物cos=v0，得到v物=cos+10v解法三：应用能量转化及守恒定律由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功设该时刻人对绳子的拉力为F，则人对绳子做功的功率为P1=Fv。绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD绳对物体做功的功率为P2=Fv0cos，BC绳对物体做功的功率为P2’=Fv0由P1=P2+P2’得到v物=cos+10v2.如图所示，一个半径为R的轴环O1立在水平面上，另一个同样的轴O2以速度v从这个轴环旁边滑过，试求两轴环上部交叉点A的速度VA与两轴环中心之距离d的关系，轴环很薄，且第二个轴环紧靠第一个轴环滑过．[解析]对本题而言，分解时可以引入圆心O2交点对参照系，A相对圆环O1的运动方向VA可分解为A相对圆心O2的速度V´和圆心O2相对于圆心O1的速度V即有AVVV［解］由于两圆环是相同的圆环，所以交点相对两环的速度大小相等。即由V、V´和VA构成的三角形为等腰三角形。由几何关系可以得出：VA与竖直方向的夹角等于21AOO。cos2dR①2sinAVV②A由①②两式可以得出224AVRVRd3．如图所示，一串相同汽车以等速v沿宽度为c的直线公路行驶，每车宽均为b，头尾间距均为a，则人能以最小速率沿一直线穿过马路所用时间为。t=νab)b+a(c224．半径为R的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。问圆柱于速度为v1的接触点A的加速度是多少？二．力与运动（一）物体的平衡1.如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑、顶角为a的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少?2．半径为R的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀弹性绳圈，原长为πR，且弹性绳圈的劲度系数为k，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水平停留在平衡位置上，如图所示，若平衡时弹性绳圈长为R2，求弹性绳圈的劲度系数k解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈不能看成质点，所以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一小段△m两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力F.在弹性绳圈上任取一小段质量为△m作为研究对象，进行受力分析.但是△m受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度观察.选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系.从正面和上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图3—5—甲和2—3—5—乙.先看俯视图3—5—甲，设在弹性绳圈的平面上，△m所对的圆心角是△θ，则每一小段的质量Mm2△m在该平面上受拉力F的作用，合力为2sin2)2cos(2FFT因为当θ很小时，sin所以FFT22再看正视图3—5—乙，△m受重力△mg，支持力N，二力的合力与T平衡.即tanmgT现在弹性绳圈的半径为RRr2222所以4522sinRr1tan因此T=Mgmg2①、②联立，FMg2，解得弹性绳圈的张力为：2MgF设弹性绳圈的伸长量为x则RRRx)12(2所以绳圈的劲度系数为：RMgRMgxFk222)12()12(23．如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触，但无挤压。假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为μ0，柱体与柱体之间的动摩擦因数为μ。若系统处于平衡状态，μ0和μ必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。设每个圆柱的重力均为G，首先隔离C球，受力分析如图1一7所示，由∑Fcy＝0可得11312()22NfG①再隔留A球，受力分析如图1一8所示，由∑FAy=0得11231022NfNG②由∑FAx=0得21131022fNN③由∑EA＝0得12fRfR④由以上四式可得11223223NffG112NG，232NGABC而202fN，11fN0233，23（备用）．如图所示，一个半径为R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均匀铁链，其A端固定在球面的顶点，B端恰与桌面不接触，铁链单位长度的质量为ρ.试求铁链A端受的拉力T.解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点，分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况.在铁链上任取长为△L的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图3—2—甲所示.由于该元处于静止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足：TGTTcoscoscosLgGT由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大△Tθ，所以整个铁链对A端的拉力是各段上△Tθ的和，即coscosLgLgTT观察cosL的意义，见图3—2—乙，由于△θ很小，所以CD⊥OC，∠OCE=θ△Lcosθ表示△L在竖直方向上的投影△R，所以RLcos可得铁链A端受的拉力gRLgTcos（二）力与运动1．质量为M的光滑圆形滑块平放在桌面上，一细绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，质量分别为m1和m2，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块加速度。2．如图所示装置中已知m1,m2,m3且m3向上运动，一切阻力忽略．滑轮质量不计．求m3的加速度．[解]设m3向上的加速度为a3,则滑轮P的加速度为a3方向向上;滑轮Q的加速度为2a3,方向向下.设m1相对滑轮Q的加速度为a1,m2相对滑轮Q的加速度为a2,由于Q有加速度,所以当以Q为参照系对m1,m2受力分析时,需加惯性力.设图中所示的绳中的张力为T,分别对m1,m2,m3列方程(注意,由于滑轮质量不计,所以与m1,m2相连细绳的张力为2T)333322232211311112:2:22:22mTmgmaTmmgmamaTmmamgmaaa解得:1223133122313816mmmmmmammmmmm3．质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.解析：因为向心力F=mrω2，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值.如图3—6所示，在圆环上取一小段△L，对应的圆心角为△θ，其质量可表示为Mm2，受圆环对它的张力为T，则同上例分析可得22sin2mrT因为△θ很小，所以22sin，即2222MrT解得最大角速度MrT2三．曲线运动与天体运行1．如图中，是一带有竖直立柱的木块，总质量为M，位于水平地面上，B是一质量为m的小球，通过一不可伸长的轻绳挂于立柱的顶端，现拉动小球使绳伸直并处于水平位置，然后让小球从静止状态下摆，如在小球与立柱发生碰撞前，木块A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦因数至少为多大？（设A不会发生转动）解：设当小球摆至与水平方向的夹角为θ时小球的速度为，则21sin2mglm此时小球受到绳的拉力为T，由于小球做圆周运动，有2sinmTmgll对于木块，设地面对木块的支持力为N，摩擦力为f，故有sin0TMgNcos0Tf设地面的静摩擦因数为μ，则有：fN联立以上各式解得：223sincos2sincos3sin2sinmmMa式中已令23Mam，又令22sincos()2sinFa于是()F，即关于θ的函数，现要求不论θ取何值，不块均不发生移动，这就要求静摩擦因数μ的最小值min等于F（θ）的最大值max()F，而max()F可通过下述方法求得：222222sincos2sincos2()(cossin)2sincos(2)sin(2)tantanFaaaaa22(2)tan2(2)tanaaaa当(2)tantanaa时，即tan2aa时，F（θ）有最大值，其值为max213()(2)23mFaaMmM因此min2323mMmM2．某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为Av，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图所示，求它经过远日点B时的速度Bv的大小.解析：此题可根据万有引力提供行星的向心力求解.也可根据开普勒第二定律，用微元法求解.设行星在近日点A时又向前运动了极短的时间△t，由于时间极短可以认为行星在△t时间内做匀速圆周运动，线速度为Av，半径为a，可以得到行星在△t时间内扫过的面积atvSAa21同理，设行星在经过远日点B时也运动了相同的极短时间△t，则也有btvSBb21由开普勒第二定律可知：Sa=Sb即得ABvbav此题也可用对称法求解.3．宇宙飞船绕一行星做匀速圆周运动，轨道半径为R，速率为v船长想把圆形轨道改为过B点的椭圆轨道，B点距行星中心为3R，如图所示．(1)若飞船在A点由圆形轨道改为椭圆轨道，它的速率应增加多少?(2)飞船由A到B的时间是多少?(3)飞船由A到C,由C到B各需多长时间?[解](1)飞船在圆形轨道上时：22MmvGmRR得出：GMvR变为椭圆轨道后，设在A点速度为v1,在B点速度为v2满足：1222121132211223vRvRMmMmmvGmvGRR可以求得：16622GMvvR速度应增加6(1)2vv(2)变为椭圆轨道后,其周期等于半径为2R的圆形轨道的周期(半长轴相等,周期相等)则有:222424MmGmRRT得出42GMTR①在原圆形轨道时,22204MmGmRRT022GMRTRv②从A到B的时间222TRtv(3)时间之比等于飞船扫过的面积之比。设由A到C的时间为T1，由C到B的时间为T2.椭圆的半短轴为3R1212331421123342DCACOACODDCBCOBCODRRRRSSSTTSSSRRRR③1222RTTv④由③④得:1(1)2RTv,2(1)2RTv四．动量（一）动量定理：0tFmamt合，即0tFtmm合1．质量为M的金属球与质量为m的木球用细线