2014-2015学年高中数学2.2.3抛物线的参数方程同步检测试题新人教A版选修4-4

1【金版学案】2014-2015学年高中数学2.2.3抛物线的参数方程同步检测试题新人教A版选修4-4一层练习1．(2013·陕西卷)圆锥曲线x＝t2，y＝2t(t为参数)的焦点坐标是________．答案：(1,0)2．点P(1,0)到曲线x＝t2，y＝2t(t为参数，t∈R)上的点的最短距离为()A．0B．1C.2D．2答案：B3．若曲线x＝2pt，y＝2pt2(t为参数)上异于原点的不同两点M1、M2所对应的参数分别是t1、t2，则弦M1M2所在直线的斜率是()A．t1＋t2B．t1－t2C.1t1＋t2D.1t1－t2答案：A24．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：x＝1＋s，y＝1－s(s为参数)和Cx＝t＋2，y＝t2(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，则|AB|＝________.答案：25．连接原点O和抛物线x2＝2y上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求点P的轨迹方程，并说明它是何种曲线．解析：设抛物线x2＝2y的参数方程为x＝2t，y＝2t2(t为参数)．∵点M在抛物线上，∴M的坐标为(2t,2t2)．设P的坐标为(x0，y0)，由|OM|＝|MP|知，M为OP的中点，∴x0＝4t，y0＝4t2.消去参数t，得y0＝14x20，即点P的轨迹方程是x2＝4y，表示的曲线为抛物线．二层练习6．参数方程x＝sinθ＋cosθ，y＝sinθcosθ(θ为参数)表示的曲线为()3答案：C7．曲线x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)上两点A、B所对应的参数分别为t1、t2，且t1＋t2＝0，则|AB|为()A．|2p(t1－t2)|B．2p(t1－t2)C．2p(t21＋t22)D．2p(t1－t2)2答案：A8．(2013·江西卷)设曲线C的参数方程为x＝t，y＝t2(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．4答案：ρcos2θ－sinθ＝09．(2013·深圳一调)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为x＝t，y＝t＋1(t为参数)．曲线C2的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2交点在直角坐标系中的坐标为________．答案：(2,5)10．(2013·重庆卷)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ＝4的直线与曲线x＝t2，y＝t3(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案：16三层练习11．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2tan2θ，y＝2tanθ(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解析：∵直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t.∴消去参数t后得直线的普通方程为2x－y－2＝0.①5同理得曲线C的普通方程为y2＝2x.②①②联立方程组解得它们公共点的坐标为(2,2)，12，－1.12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过顶点的两弦OA⊥OB，求分别以OA、OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹．解析：设A(2pt21，2pt1)，B(2pt22，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2pt21x－2pt1y＝0，以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2pt22x－2pt2y＝0，即t1、t2为方程2pxt2＋2pty－x2－y2＝0的两根．∴t1t2＝－x2＋y22px.又OA⊥OB，∴t1t2＝－1，x2＋y2－2px＝0.∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB(如下图)．(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标；(2)求弦AB中点M的轨迹过程．解析：(1)由题意得y＝kx，y2＝2px，6解得xA＝2pk2，yA＝2pk.以－1k代替上式中的k，可列方程组y＝－1kx，y2＝2px，得xB＝2pk2，yB＝－2pk.∴A2pk2，2pk，B(2pk2，－2pk)．(2)设M(x，y)，则x＝pk2＋1k2，y＝p1k－k，消去参数k，得y2＝px－2p2，此即为点M轨迹的普通方程．14．已知方程y2－2x－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0.(1)证明：不论θ为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆；(1)证明：将原方法配方得(y－3sinθ)2＝2(x－4cosθ)，曲线为抛物线，顶点为(4cosθ，3sinθ)，设顶点为Q(x，y)，则x＝4cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，消去θ得x216＋y29＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．(2)求抛物线在直线x＝14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的θ值．(2)解析：将x＝14代入已知方程，得y2－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ－19＝0，得y＝3sinθ±28－8cosθ.因为－8≤8cosθ≤8，所以20≤28－8cosθ≤36.设抛物线在直线x＝14上截得的弦长为l，则l＝|y1－y2|＝228－8cosθ，所以45≤l≤12.当cosθ＝1时，即θ＝2kπ(k∈Z)，lmin＝45；当cosθ＝－1，即θ＝(2k＋1)π(k∈Z)时，lmax＝12.71．已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程．2．在利用参数方程求焦点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向，在方程的转化过程中要注意参数的范围限制．3．抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应.