2014-2015学年高中数学第一章解三角形单元同步测试(含解析)新人教A版必修5

1第一章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形解析最大边AC所对角为B，则cosB＝52＋62－822×5×6＝－3200，∴B为钝角．答案C2．在△ABC中，已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为()A．ABCB．BACC．CBAD．CAB解析由正弦定理asinA＝bsinB，∴sinB＝bsinAa＝32.∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故CBA.答案C3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．42B．43C．46D.323解析由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正弦定理，得b＝asinBsinA＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝46.答案C4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BA→·BC→的值为()A．5B．－5C．15D．－15解析在△ABC中，由余弦定理得cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝25＋49－642×5×7＝17.∴BA→·BC→＝|BA→|·|BC→|cosB＝5×7×17＝5.答案A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是()A．1：2：3B．1：3：2C．1：2：3D.2：3：2解析设三边长分别为a，3a,2a，设最大角为A，则cosA＝a2＋3a2－a22·a·3a＝0，∴A＝90°.设最小角为B，则cosB＝a2＋3a2－a22·2a·3a＝32，∴B＝30°，∴C＝60°.因此三角之比为1：2：3.2答案A6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．一解C．两解D．解的个数不确定解析由bsinB＝asinA，得sinB＝bsinAa＝9×226＝3241.∴此三角形无解．答案A7．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析根据正弦定理，原式可化为2Ra24R2－c24R2＝(2a－b)·b2R，∴a2－c2＝(2a－b)b，∴a2＋b2－c2＝2ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝22，∴C＝45°.答案B8．在△ABC中，已知sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为()A．1B．2C.2D.3解析由asinA＝bsinB＝csinC＝2R，又sin2A＋sin2B－sinAsinB＝sin2C，可得a2＋b2－ab＝c2.∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，∴C＝60°，sinC＝32.∴S△ABC＝12absinC＝3.答案D9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinBsinC的值为()A.85B.58C.53D.35解析由余弦定理，得cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC，解得AC＝3.由正弦定理sinBsinC＝ACAB＝35.答案D10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC＝2π3.3答案A11．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长()A．0.5kmB．1kmC．1.5kmD.32km解析如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，BC＝AB·cos20°＝cos20°，DC＝ACtan10°＝2cos210°，∴DB＝DC－BC＝2cos210°－cos20°＝1.答案B12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b为()A．2B．4＋23C．4－23D.6－2解析在△ABC中，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵a＝c，∴0＝b2－2bccosA＝b2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝2232－12＝14(6－2)，∴b2－2b(6＋2)cos75°＝b2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b2－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝bsinCsinB＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案4(3－1)14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.解析由B＝A＋60°，得sinB＝sin(A＋60°)＝12sinA＋32cosA.又由b＝2a，知sinB＝2sinA.∴2sinA＝12sinA＋32cosA.即32sinA＝32cosA.∵cosA≠0，∴tanA＝33.∵0°A180°，∴A＝30°.答案30°15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为103，则B＝________，AB＝________.解析由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.又S＝12AB·BC·sinB，∴103＝12AB×5×sin60°，∴AB＝8.答案60°816．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8：9：10，则sinA：sinB：sinC＝________.4解析设b＋c＝8k，c＋a＝9k，a＋b＝10k，可得a：b：c＝11：9：7.∴sinA：sinB：sinC＝11：9：7.答案11：9：7三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b(b＋c)．(1)求证：A＝2B；(2)若a＝3b，试判断△ABC的形状．解(1)证明：在△ABC中，∵a2＝b·(b＋c)＝b2＋bc，由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝bc＋c22ac＝b＋c2a＝a2b＝sinA2sinB，∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.则A＝2B或A＋2B＝π.若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.(2)∵a＝3b，由a2＝b(b＋c)，得3b2＝b2＋bc，∴c＝2b.又a2＋b2＝4b2＝c2.故△ABC为直角三角形．18．(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－3＝0.求：(1)角C的度数；(2)边c的长度及△ABC的面积．解(1)由2sin(A＋B)－3＝0，得sin(A＋B)＝32.∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.(2)∵a，b是方程x2－23x＋2＝0的两个根，∴a＋b＝23，ab＝2.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝12－6＝6.∴c＝6.S△ABC＝12absinC＝12×2×32＝32.19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83nmile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝126，由正弦定理，得AD＝ABsinBsin∠ADB＝126×2232＝24(nmile)．(2)在△ADC中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos30°.解得CD＝83(nmile)．∴A处与D处的距离为24nmile，灯塔C与D处的距离为83nmile.20．(12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n5＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝π3，求△ABC的面积．解(1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.由正弦定得知，sinA＝a2R，sinB＝b2R(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入上式，得a·a2R＝b·b2R，∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．(2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝3.21．(12分)在△ABC中，已知内角A＝π3，边BC＝23，设内角B＝x，周长为y.(1)求函数y＝f(x)的解析式和定义域；(2)求y的最大值．解(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π，由A＝π3，B0，C0，得0B2π3.应用正弦定理，得AC＝BCsinA·sinB＝23sinπ3·sinx＝4sinx.AB＝BCsinAsinC＝4sin2π3－x.∵y＝AB＋BC＋CA，∴y＝4sinx＋4sin2π3－x＋230x2π3.(2)y＝4(sinx＋32cosx＋12sinx)＋23＝43sin(x＋π6)＋23.∵π6x＋π65π6，∴当x＋π6＝π2，即x＝π3时，y取得最大值63.22．(12分)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.解(1)因为tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，即sinCcosC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.6又因为sin(B－A)＝cosC＝12，则B－A＝π6，或B－A＝5π6(舍去)．得A＝π4，B＝5π12.所以A＝π4，C＝π3.(2)S△ABC＝12acsinB＝6＋28ac＝3＋3，又asinA＝csinC，即a22＝c32.得a＝22，c＝23.