2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升3-2-2直线的两点式方程

一、选择题1．过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线方程是()A.y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1B.y－y1y2－y1＝x－x2x1－x2C．(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0D．(x2－x1)(x－x1)－(y2－y1)(y－y1)＝0[答案]C2．直线xa2＋yb2＝1在y轴上的截距是()A．|b|B．－b2C．b2D．±b[答案]C3．直线xa＋yb＝1过一、二、三象限，则()A．a0，b0B．a0，b0C．a0，b0D．a0，b0[答案]C4．(2012－2013·邯郸高一检测)下列说法正确的是()A.y－y1x－x1＝k是过点(x1，y1)且斜率为k的直线B．在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为xa＋yb＝1C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离是bD．不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式[答案]D5．已知△ABC三顶点A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为()A．2x＋y－8＝0B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0D．2x－y－12＝0[答案]A[解析]点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两点式方程得y－24－2＝x－32－3，即2x＋y－8＝0.6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为()A．－32B．－23C.25D．2[答案]A[解析]直线方程为y－91－9＝x－3－1－3，化为截距式为x－32＋y3＝1，则在x轴上的截距为－32.7．已知2x1－3y1＝4,2x2－3y2＝4，则过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是()A．2x－3y＝4B．2x－3y＝0C．3x－2y＝4D．3x－2y＝0[答案]A[解析]∵(x1，y1)满足方程2x1－3y1＝4，则(x1，y1)在直线2x－3y＝4上．同理(x2，y2)也在直线2x－3y＝4上．由两点决定一条直线，故过点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线l的方程是2x－3y＝4.[点评]利用直线的截距式求直线的方程时，需要考虑截距是否为零．8．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条[答案]B[解析]解法一：设直线方程为y＋3＝k(x－4)(k≠0)．令y＝0得x＝3＋4kk，令x＝0得y＝－4k－3.由题意，3＋4kk＝－4k－3，解得k＝－34或k＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B.解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a)，a≠0，则直线方程为xa＋ya＝1，把点P(4，－3)的坐标代入方程得a＝1.∴所求直线有两条，∴应选B.二、填空题9．直线x4－y5＝1在两坐标轴上的截距之和为________．[答案]－1[解析]直线x4－y5＝1在x轴上截距为4，在y轴上截距为－5，因此在两坐标轴上截距之和为－1.10．过点(0,1)和(－2,4)的直线的两点式方程是________．[答案]y－14－1＝x－0－2－0(或y－41－4＝x＋20＋2)11．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．[答案]3x＋2y－6＝0[解析]设直线方程为xa＋yb＝1，则b＝3，a＋b＝5，解得a＝2，b＝3，则直线方程为x2＋y3＝1，即3x＋2y－6＝0.12．直线l过点P(－1,2)，分别与x，y轴交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则直线l的方程为________．[答案]2x－y＋4＝0[解析]设A(x,0)，B(0，y)．由P(－1,2)为AB的中点，∴x＋02＝－1，0＋y2＝2，∴x＝－2，y＝4由截距式得l的方程为x－2＋y4＝1，即2x－y＋4＝0.三、解答题13．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．[解析]设直线方程的截距式为xa＋1＋ya＝1.则6a＋1＋－2a＝1，解得a＝2或a＝1，则直线方程是x2＋1＋y2＝1或x1＋1＋y1＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.14．已知三角形的顶点是A(8,5)、B(4，－2)、C(－6,3)，求经过每两边中点的三条直线的方程．[解析]设AB、BC、CA的中点分别为D、E、F，根据中点坐标公式得D(6，32)、E(－1，12)、F(1,4)．由两点式得DE的直线方程为y－3212－32＝x－6－1－6.整理得2x－14y＋9＝0，这就是直线DE的方程．由两点式得y－124－12＝x－－11－－1，整理得7x－4y＋9＝0，这就是直线EF的方程．由两点式得y－324－32＝x－61－6整理得x＋2y－9＝0这就是直线DF的方程．15．△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．(1)分别求边AC和AB所在直线的方程；(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程；(3)求AC边的中垂线所在直线的方程；(4)求AC边上的高所在直线的方程；(5)求经过两边AB和AC的中点的直线方程．[解析](1)由A(0,4)，C(－8,0)可得直线AC的截距式方程为x－8＋y4＝1，即x－2y＋8＝0.由A(0,4)，B(－2,6)可得直线AB的两点式方程为y－46－4＝x－0－2－0，即x＋y－4＝0.(2)设AC边的中点为D(x，y)，由中点坐标公式可得x＝－4，y＝2，所以直线BD的两点式方程为y－62－6＝x＋2－4＋2，即2x－y＋10＝0.(3)由直线AC的斜率为kAC＝4－00＋8＝12，故AC边的中垂线的斜率为k＝－2.又AC的中点D(－4,2)，所以AC边的中垂线方程为y－2＝－2(x＋4)，即2x＋y＋6＝0.(4)AC边上的高线的斜率为－2，且过点B(－2,6)，所以其点斜式方程为y－6＝－2(x＋2)，即2x＋y－2＝0.(5)AB的中点M(－1,5)，AC的中点D(－4,2)，∴直线DM方程为y－25－2＝x－－4－1－－4，即x－y＋6＝0.16．求分别满足下列条件的直线l的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A(1,0)，B(m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．[分析]欲求直线的方程，关键是根据已知条件选择一种最合适的形式．[解析](1)设直线l的方程为y＝34x＋b.令y＝0，得x＝－43b，∴12|b·(－43b)|＝6，b＝±3.∴直线l的方程为y＝43x±3(2)当m≠1时，直线l的方程是y－01－0＝x－1m－1，即y＝1m－1(x－1)当m＝1时，直线l的方程是x＝1.(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.当a≠0，b≠0时，l的方程为xa＋yb＝1；∵直线过P(4，－3)，∴4a－3b＝1.又∵|a|＝|b|，∴4a－3b＝1，a＝±b.解得a＝1，b＝1或a＝7，b＝－7.当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l的方程为y＝－34x.综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或x7＋y－7＝1或y＝34x.[点评]明确直线方程的几种特殊形式的应用条件，如(2)中m的分类，再如(3)中，直线在两坐标轴上的截距相等包括截距都为零的情况．