2014《步步高》高考数学第一轮复习02函数及其表示

§2.1函数及其表示2014高考会这样考1.考查函数的定义域、值域、解析式的求法；2.考查分段函数的简单应用；3.由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．复习备考要这样做1.在研究函数问题时，要树立“定义域优先”的观点；2.掌握求函数解析式的基本方法；3.结合分段函数深刻理解函数的概念．1．函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法．2．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．3．函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．4．常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝tanx的定义域为x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.(6)函数f(x)＝xa的定义域为{x|x∈R且x≠0}．[难点正本疑点清源]1．函数的三要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．2．函数与映射(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．3．函数的定义域(1)解决函数问题，函数的定义域必经优先考虑；(2)求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式得aq(x)b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．1．(2011·浙江)设函数f(x)＝41－x，若f(a)＝2，则实数a＝________.答案－1解析∵f(x)＝41－x，∴f(a)＝41－a＝2，∴a＝－1.2．(课本改编题)给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝x－2＋2－x是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．其中正确命题的序号有________．答案①②解析对于①函数是映射，但映射不一定是函数；对于②f(x)是定义域为{2}，值域为{0}的函数．对于③函数y＝2x(x∈N)的图象不是一条直线；对于④由于这两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数．3．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]4．(2012·江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为()A．y＝1sinxB．y＝lnxxC．y＝xexD．y＝sinxx答案D解析函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sinx≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.5．(2012·福建)设f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数，则f(g(π))的值为()A．1B．0C．－1D．π答案B解析根据题设条件，∵π是无理数，∴g(π)＝0，∴f(g(π))＝f(0)＝0.题型一函数的概念例1有以下判断：(1)f(x)＝|x|x与g(x)＝1x≥0－1x0表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；(4)若f(x)＝|x－1|－|x|，则ff12＝0.其中正确判断的序号是________．思维启迪：可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断．答案(2)(3)解析对于(1)，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝1x≥0－1x0的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x＝1不是y＝f(x)定义域的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于(3)，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于(4)，由于f12＝12－1－12＝0，所以ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判断是(2)(3)．探究提高函数的三要素：定义域、值域、对应关系．这三要素不是独立的，值域可由定义域和对应关系唯一确定；因此当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．特别值得说明的是，对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)不是指形式上的．即对应关系是否相同，不能只看外形，要看本质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式才能正确判断．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．f(x)＝|x|，g(x)＝x2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x)2C．f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1D．f(x)＝x＋1·x－1，g(x)＝x2－1答案A解析A中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x)．B中，f(x)＝|x|，g(x)＝x(x≥0)，∴两函数的定义域不同．C中，f(x)＝x＋1(x≠1)，g(x)＝x＋1，∴两函数的定义域不同．D中，f(x)＝x＋1·x－1(x＋1≥0且x－1≥0)，f(x)的定义域为{x|x≥1}；g(x)＝x2－1(x2－1≥0)，g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤－1}．∴两函数的定义域不同．故选A.题型二求函数的解析式【例2】(1)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)；(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式；(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．思维启迪：求函数的解析式，要在理解函数概念的基础上，寻求变量之间的关系．解(1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋c.又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1.(3)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代替x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．探究提高函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)消去法：已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．(2012·武汉模拟)给出下列两个条件：(1)f(x＋1)＝x＋2x；(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2.试分别求出f(x)的解析式．解(1)令t＝x＋1，∴t≥1，x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3.∴f(x)＝ax2＋bx＋3，∴f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.∴4a＝44a＋2b＝2，∴a＝1b＝－1，∴f(x)＝x2－x＋3.题型三函数的定义域【例3】(1)函数y＝lnx＋1－x2－3x＋4的定义域为______________．(2)若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是()A．[0,1]B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4]D．(0,1)思维启迪：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置．答案(1)(－1,1)(2)B解析(1)由x＋10－x2－3x＋40，得－1x1.(2)依已知有0≤2x≤2，x－1≠0，解之得0≤x1，定义域为[0,1)．故选B.探究提高(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．(2)已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]．(1)若函数f(x)＝x－4mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是__________．答案0，34解析f(x)的定义域为R，即mx2＋4mx＋3≠0恒成立．①当m＝0时，符合条件．②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4×m×30，即m(4m－3)0，∴0m34.综上所述，m的取值范围是0，34.(2)已知f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是__________．答案[1,3]解析由0≤x＋1≤40≤x－1≤4，得1≤x≤3.故f(x＋1)＋f(x－1)的定义域为[1,3]．题型四分段函数【例4】)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log21－x，x≤0，fx－1－fx－2，x0，则f(2014)的值为________．思维启迪：注意到2014较大，较难代入计算求出值，所以可通过x取较小数值探究函数f(x)值的规律性，再求f(2014)．也可以先用推理的方法得出f(x)的规律性，再求f(2014)．答案1解析方法一由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，f(7)＝f(6)－f(5)＝－1，f(8)＝f(7)－f(6)＝－1，…，所以f(x)的值以6为周期重复出现，因此，f(2014)＝f(4)＝1.方法二∵x0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．两式