2014《步步高》高考数学第一轮复习12离散型随机变量的均值与方差

§12.6离散型随机变量的均值与方差2014高考会这样考1.考查离散型随机变量的均值与方差的概念；2.利用均值、方差解决一些实际问题．复习备考要这样做理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题．1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝__p__，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__，D(X)＝np(1－p)．[难点正本疑点清源]1．对均值(或数学期望)的理解(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值取值的平均状态．(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列．2．方差的意义D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之D(X)越小，X的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的．在E(X)附近，统计中常用DX来描述X的分散程度．1．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的值为________.ξ012345P2x3x7x2x3xx答案209解析根据概率之和为1，求出x＝118，则E(ξ)＝0×2x＋1×3x＋…＋5x＝40x＝209.2．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.答案53解析由题意知P(X＝0)＝13(1－p)2＝112，∴p＝12.随机变量X的分布列为X0123P1121351216E(X)＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为()A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9答案A解析由x＋0.1＋0.3＋y＝17x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9可得y＝0.4.4．已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()A.73B．4C．－1D．1答案A解析E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E(Y)＝2E(X)＋3＝2×－13＋3＝73.5．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45答案A解析∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴n＝8，p＝0.2.题型一离散型随机变量的均值、方差例1(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．思维启迪：先求出降水量在各范围内的概率，再求对应工期延误天数的概率，列出Y的分布列．解(1)由已知条件和概率的加法公式有P(X300)＝0.3，P(300≤X700)＝P(X700)－P(X300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X900)＝P(X900)－P(X700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X300)＝0.7，又P(300≤X900)＝P(X900)－P(X300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X900|X≥300)＝P300≤X900PX≥300＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.探究提高(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)概率与统计的结合是高考的热点，熟练掌握基础知识，理解二者的联系是解题的关键．某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．解(1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p1＝A3443＝38；(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝3343＝2764，P(ξ＝1)＝C133243＝2764，P(ξ＝2)＝C23343＝964，P(ξ＝3)＝C3343＝164.所以ξ的分布列为ξ0123P27642764964164数学期望E(ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.题型二二项分布的均值、方差例2某人投弹命中目标的概率p＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．思维启迪：投弹一次，X服从两点分布；重复10次，Y服从二项分布．解(1)随机变量X的分布列为X01P0.20.8因为X服从两点分布，故E(X)＝p＝0.8，D(X)＝p(1－p)＝0.8×0.2＝0.16.(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10，0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6.探究提高若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差Dξ为62.(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝32，得1－p＝12，从而n＝6，p＝12.ξ的分布列为ξ0123456P164664156420641564664164(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋2064＝2132或P(A)＝1－P(ξ3)＝1－15＋6＋164＝2132.题型三均值与方差的应用例3现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润．(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围．思维启迪：(1)求分布列，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；(2)由E(X1)E(X2)，找出关于p的不等式，即可求出p的范围．解(1)X1的概率分布列为X11.21.181.17P161213E(X1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.由题设得X～B(2，p)，即X的概率分布列为X012P(1－p)22p(1－p)p2故X2的概率分布列为X21.31.250.2P(1－p)22p(1－p)p2所以E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(2)由E(X1)E(X2)，得－p2－0.1p＋1.31.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)0，解得－0.4p0.3.因为0p1，所以当E(X1)E(X2)时，p的取值范围是0p0.3.探究提高(1)解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．A，B两个投资项目的利润分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资A项目，100－x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值．解(1)由题设可知Y1和Y2的分布列为Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝Dx100Y1＋D100－x100Y2＝x1002D(Y1)＋100－x1002D(Y2)＝41002[x2＋3(100－x)2]＝41002(4x2－600x＋3×1002)．当x＝6002×4＝75时，f(x)＝3为最小值．离散型随机变量的均值与方差问题典例：(12分)甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.(1)若m＝10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是13，求P2的值；(3)设P2＝15，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和均值．审题视角(1)概率的应用，知甲袋中总球数为10和摸1个为红球的概率，求红球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，关键是求ξ的所有可能值及每个值所对应的概率．规范解答解(1)