2014一元二次不等式及其解法教学案

1第二节一元二次不等式及其解法[知识能否忆起]一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0的解集的关系，可归纳为：判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c0(a0){x|xx1或xx2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c0(a0){x|x1xx2}∅∅若a0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．[小题能否全取]1．(教材习题改编)不等式x(1－2x)＞0的解集是()A.－∞，12B.0，12C．(－∞，0)∪12，＋∞D.12，＋∞答案：B2．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是()A.xx≠－13B.－13C.x－13≤x≤13D．R答案：B23．(2011·福建高考)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2.4．(2012·天津高考)已知集合A＝{x∈R||x＋2|3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝__________，n＝________.解析：因为|x＋2|3，即－5x1，所以A＝(－5,1)，又A∩B≠∅，所以m1，B＝(m,2)，由A∩B＝(－1，n)得m＝－1，n＝1.答案：－115．不等式1x－1＜1的解集为________．解析：由1x－1＜1得1－1x－1＞0，即x－2x－1＞0，解得x＜1，或x＞2.答案：{x|x＜1，或x＞2}解一元二次不等式应注意的问题：(1)在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数．(2)二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况．(3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号．(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．一元二次不等式的解法典题导入[例1]解下列不等式：(1)0＜x2－x－2≤4；(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．[自主解答](1)原不等式等价于3x2－x－2＞0，x2－x－2≤4⇔x2－x－2＞0，x2－x－6≤0⇔x－x＋＞0，x－x＋⇔x＞2或x＜－1，－2≤x≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x|－2≤x＜－1，或2＜x≤3.(2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.由于a≠0故分a＞0与a＜0讨论．当a＜0时，x＜5a或x＞－a；当a＞0时，x＜－a或x＞5a.综上，a＜0时，解集为{}x|x＜5a，或x＞－a；a＞0时，解集为{}x|x＞5a，或x＜－a.由题悟法1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．以题试法1．解下列不等式：(1)－3x2－2x＋8≥0；(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0.解得－2≤x≤43，所以原不等式的解集为x－2≤x≤43.(2)原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，因为a＞0，所以x－1a(x－1)＜0.4所以当a＞1时，解为1a＜x＜1；当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解为1＜x＜1a.综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为x1＜x＜1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a＞1时，不等式的解集为x1a＜x＜1.一元二次不等式恒成立问题典题导入[例2]已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．[自主解答]法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，a的取值范围为[－3,1]．法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或Δ＞0，a＜－1，g－解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．本题中的“x∈[－1，＋∞)改为“x∈[－1,1)”，求a的取值范围．解：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1,1)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或Δ＞0，a＜－1，g－或Δ＞0，a＞1，g解得－3≤a≤1，所求a的取值范围是[－3,1].由题悟法51．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．2．一元二次不等式恒成立的条件：(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：a＞0且b2－4ac＜0.(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)(x∈R)恒成立的充要条件是：a＜0且b2－4ac＜0.以题试法2．(2012·九江模拟)若关于x的不等式x2－ax－a0的解集为(－∞，＋∞)，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．解析：由Δ10，即a2－4(－a)0，得－4a0；由Δ2≥0，即a2－4(3－a)≥0，得a≤－6或a≥2.答案：(－4,0)(－∞，－6]∪[2，＋∞)一元二次不等式的应用典题导入[例3]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围．[自主解答](1)由题意得y＝1001－x10·1001＋850x.因为售价不能低于成本价，所以1001－x10－80≥0.所以y＝f(x)＝20(10－x)(50＋8x)，定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x)(50＋8x)≥10260，化简得8x2－30x＋13≤0.解得12≤x≤134.所以x的取值范围是12，2.6由题悟法解不等式应用题，一般可按如下四步进行：(1)认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题．以题试法3．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，公司B收取的费用为x－x20元．若能够保证选择A比选择B费用少，则x－x20＞1.5x(0＜x＜17)，整理得x2－5x＜0，解得0＜x＜5，所以当一次上网时间在5小时内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．1．(2012·重庆高考)不等式x－1x＋2＜0的解集为()A．(1，＋∞)B．(－∞，－2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C原不等式化为(x－1)(x＋2)＜0，解得－2＜x＜1，故原不等式的解集为(－2,1)．2．(2013·湘潭月考)不等式4x－2≤x－2的解集是()A．(－∞，0]∪(2,4]B．[0,2)∪[4，＋∞)C．[2,4)D．(－∞，2]∪(4，＋∞)7解析：选B①当x－2＞0即x＞2时，原不等式等价于(x－2)2≥4，解得x≥4.②当x－2＜0即x＜2时，原不等式等价于(x－2)2≤4，解得0≤x＜2.3．关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是()A．(4,5)B．(－3，－2)∪(4,5)C．(4,5]D．[－3，－2)∪(4,5]解析：选D原不等式可能为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a≤5，当a＜1时得a＜x＜1，则－3≤a＜－2，故a∈[－3，－2)∪(4,5]4．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C.－∞，－1311D.－∞，－1311∪(1，＋∞)解析：选C①m＝－1时，不等式为2x－60，即x3，不合题意．②m≠－1时，m＋10，Δ0，解得m－1311.5.已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)＞1的解集为()A．(2,3)∪(－3，－2)B．(－2，2)C．(2,3)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选A由导函数图象知，当x＜0时，f′(x)＞0，即f(x)在(－∞，0)上为增函数；当x＞0时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f(x2－6)＞1等价于f(x2－6)＞f(－2)或f(x2－6)＞f(3)，即－2＜x2－6≤0或0≤x2－6＜3，解得x∈(2,3)∪(－3，－2)．6．(2012·长沙模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为()A．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．(－1,0)D．(0,1)解析：选C∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)＜0，∴(6a＋5)(2a＋3)＜0，解得－32＜a＜－56.又a∈Z，∴a＝－1.不等式f(x)＞1，即－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.87．若不等式k－3x－3＞1的解集为{x|1＜x＜3}，则实数k＝________.解析：k－3x－3＞1，得1－k－3x－3＜0，即x－kx－3＜0，(x－k)(x－3)＜0，由题意得k＝1.答案：18．不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是________．解析：原不等式即x2－2x－a2＋2a＋4≤0，在R上解集为∅，∴Δ＝4－4(－a2＋2a＋4)＜0，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.答案：(－1,3)9．(2012·陕西师大附中模拟)若函数f(x)