2014专题-几何中的最值问题

1几何中的最值问题（讲义）一、知识点睛几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段（和、差）最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值，需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.一般处理方法：常用定理：两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）二、精讲精练1.如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图,点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN周长的最小值为.线段和(周长)最小转化构造三角形两点之间，线段最短垂线段最短PA+PB最小，需转化，使点在线异侧|PA-PB|最大，需转化，使点在线同侧线段差最大线段最大（小）值三角形三边关系定理三点共线时取得最值平移对称旋转使点在线异侧（如下图）使点在线同侧（如下图）使目标线段与定长线段构成三角形平移对称旋转lB'ABPlB'BAPNMOPBA蜂蜜蚂蚁ACQPEDCBAQPKDCBA23.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为.4.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为.5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a=．第5题图第6题图第7题图6.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为.7.如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则PAPB的最大值等于．8.点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得PAPB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OPOQ＝．第8题图第9题图第10题图9.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．10.如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．11.如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________.若将△ABP中边PA的长度改为22，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为_________．第11题图图FDCBAxyOEN(a+2,0)P(a,0)B(4,-1)A(1,-3)OyxABCDPMNxOAByABCEFPMABCDPABOPxy312.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．13.如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P．（1）当P落在线段CD上时，PD的取值范围为；（2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于.14.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N两点分别是边AB、AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应点为A′，连接BA′，则BA′的最小值是_________．几何中的最值问题（作业）1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE＋PB的最小值是__________．第1题图第2题图第3题图第4题图2．在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm（结果不取近似值）.3．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB=a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，点M为BC上一动点，则A′M的最小值为．4．如图，在锐角△ABC中，42AB，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为___________．5．在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P、Q两点分别是边AC、BC上的动点，将△PCQ沿PQ翻折，C点的对应点为C'，连接AC'，则AC'的最小值是_________．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是.第5题图第6题图ABCDADCBPQA'PFEDCBAABCDEFPA'NMCBACDQPBAPEDCBA60°A'45°MOCDBANMABDCAyxOCBC'CQPBA47．一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=mx（m0）的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为（-6，2）（1）求m，k的值；（2）点P为y轴上的一个动点，当点P在什么位置时|PA-PB|的值最大？并求出最大值.8．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．图1图29．如图，已知平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）.（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=________时，△PAB的周长最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=________时，四边形ABDC的周长最短；（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0），N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请写出m和n的值；若不存在，请说明理由.yxOBAB(-1,1)DOEFAyxx=-1xyOCBDAx=-1BAOxy（3）BAOxy（2）（1）yxOAB5【精讲精练参考答案】1.152．63．224．35．746．（73，0）7．58．39．12510．511.3+1；5+112．213．(1)8434PD；(2)45814.434【作业参考答案】1．2102．153．624a4．45．26．2227．（1）212,3mk；（2）当点P的坐标为（0，-10）时，|PA-PB|的最大值为35；8．（1）213424+xyx；（2）2(,0)5E．9.（1）72；（2）54；（3）55,23mn