2014世纪金榜课时提升作业(五十三)第八章第五节

-1-温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十三)一、填空题1.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是______.2.已知曲线C上的动点M(x,y),向量a=(x+2,y)和b=(x-2,y)满足|a|+|b|=6，则曲线C的离心率是______.3.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是______.4.设F1,F2分别是椭圆22xy12516的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，OM=3，则P点到椭圆左焦点距离为______.5.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为2.2过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16,那么C的方程为______.6.如图所示，已知圆C:(x+1)2+y2=8,定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM2AP,NPAM0，点N的轨迹为曲线E，则曲线E的方程为______.-2-7.已知F1,F2分别是椭圆2222xy1ab(ab0)的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A,B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于______.8.(2013·南京模拟)过椭圆2222xy1ab(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为______.9.(2013·连云港模拟)椭圆22xy192的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则PF2=______，∠F1PF2的大小为______.10.已知椭圆22xy1169＝的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，则△PF1F2的面积为______.二、解答题11.设椭圆2222xy1ab(a＞b＞0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F1PF2Q为正方形.(1)求椭圆的离心率.(2)若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为324，求此椭圆方程.12.已知椭圆C的中心O在原点，长轴在x轴上，焦距为6，短轴长为8，-3-(1)求椭圆C的方程.(2)过点(-5，0)作倾斜角为4的直线交椭圆C于A，B两点，求△ABO的面积.13.(能力挑战题)已知椭圆2222xy1ab(ab0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且圆C：x2+y2+3x-3y-6=0过A，F2两点.(1)求椭圆的标准方程.(2)设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β-α=23时，证明：点P在一定圆上.(3)设椭圆的上顶点为Q，在满足条件(2)的情形下证明：PQ=PF1+PF2.答案解析1.【解析】圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.又e=c1,a2∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,∴椭圆的标准方程为22xy43=1.答案:22xy43=12.【解析】因为|a|+|b|=6表示动点M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离的和为6，所以曲线C是椭圆，且长轴长2a=6,即a=3，又c=2,∴e=23.-4-答案:233.【思路点拨】本题关键是据条件列出关系式，紧扣椭圆的定义求解.【解析】点P在线段AN的垂直平分线上，故PA=PN,又AM是圆的半径,∴PM+PN=PM+PA=AM=6＞MN，由椭圆的定义知,P的轨迹是椭圆.答案:椭圆4.【解析】因为OM=3,数形结合得PF2=6,又PF1+PF2=10,∴PF1=4.答案：45.【解析】根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为2222xyab=1(a＞b＞0).∵e=22,∴c2a2.根据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=22，所以椭圆方程为22xy1168.答案：22xy11686.【解析】∵AM2AP,NPAM0，∴NP为AM的垂直平分线，∴NA=NM.又∵CN+NM=22,∴CN+AN=222.∴动点N的轨迹是以点C(－1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a=22,焦距2c=2.∴a=2,c=1,b2=1.∴曲线E的方程为22xy2=1.答案：22xy2=1-5-7.【解析】因为△F2AB是等边三角形，所以Ac3(,c)22在椭圆2222xyab=1上，所以2222c3c4a4b=1，因为c2=a2-b2，所以，4a4-8a2c2+c4=0，即e4-8e2+4=0，所以，e2=4±23，e=3-1或e=3+1(舍)．答案：3-1【误区警示】本题易出现答案为3-1或3+1的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.8.【解析】由题意知点P的坐标为(-c,2ba)或(-c,-2ba).∵∠F1PF2=60°,∴22ac3,b即2222ac3b3ac,∴233e2e30,ee33或(舍).答案:339.【解析】∵PF1+PF2=2a=6,∴PF2=6-PF1=2.在△F1PF2中，cos∠F1PF2=222121212PFPFFF2PFPF=1642812422，∴∠F1PF2=120°.答案:2120°10.【解析】由余弦定理判断∠P90°,只能∠PF1F2或∠PF2F1为直角.由a=4,b=3得c=7,-6-∴|yP|=9.4∴12PFF1997S27.244△答案：974【方法技巧】焦点三角形的应用椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形问题常利用椭圆定义和正弦、余弦定理求解，设椭圆上的一点P(x0,y0)到两焦点F1，F2的距离分别为r1,r2,焦点△F1PF2的面积为S,则在椭圆2222xy1ab＝(ab0)中，当r1=r2即P为短轴端点时，S最大.11.【解析】(1)由题意可设P点在x轴上方，则P(0,b3),设F1(-c,0),因为F1PF2Q为正方形，所以c＝b3,即b=3c,∴b2=9c2,即a2=10c2,所以椭圆的离心率e=1010.(2)因为B(0，3c)，由几何关系可求得一条切线的斜率为22，所以切线方程为y22x3c,因为在x轴上的截距为324，所以c＝1，所求椭圆方程为22xy1.10912.【解析】(1)设椭圆方程为：2222xy1ab(ab0)，由题意得：c=3,b=4,a=5.所以椭圆C方程为22xy12516.(2)不妨设A(-5，0)，直线AB方程为：y=x+5，由22yx5,x5,xy1,2516-7-得45x,41160y.41即B45160()4141，，所以OABB11160400SOAy5.224141△13.【解析】(1)圆x2+y2+3x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-23,0),F2(3,0),故a=23,c=3，所以b=3,所以椭圆的标准方程是：22xy1129.(2)由题意知α≠90°,β≠90°，因为F1(-3，0)，F2(3，0)，设点P(x,y)，则1PFyktan,x32PFyktan,x3因为β-α=23,所以tan(β-α)=-3.因为tan(β-α)=22tantan23y,1tantanxy3所以2223y3.xy3化简得x2+y2-2y=3.所以点P在定圆x2+y2-2y=3上.(3)因为PQ2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9,因为x2+y2=3+2y,所以PQ2=12-4y.又2221PFx3y2y623x，2222PFx3y2y623x,所以2PF1·PF2=2224y312x-8-224y33x,因为3x2=9-3y2+6y,所以2PF1·PF2=244y,因为β=22,33又点P在定圆x2+y2-2y=3上，所以y0,所以2PF1·PF2=-8y,从而(PF1+PF2)2=PF12+2PF1·PF2+PF22=4y+12-8y=12-4y=PQ2.所以PQ=PF1+PF2.关闭Word文档返回原板块。