2015高考数学(四川专用,理科)二轮专题整合1-5-2圆锥曲线中的定点定值最值范围问题

-1-第2讲圆锥曲线中的定点、定值、最值、范围问题一、选择题1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝3x无交点，则离心率e的取值范围是()．A．(1,2)B.(1,2]C．(1，5)D.(1，5]解析因为双曲线的渐近线为y＝±bax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则直线y＝3x应在两渐近线之间，所以有ba≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.答案B2．已知椭圆x24＋y2b2＝1(0＜b＜2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是()．A．1B.2C.32D.3解析由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2；由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a＝3，可求得b2＝3，即b＝3.答案D3．(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()．A.433B.233-2-C．3D.2解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1＞r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，则(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosπ3，得4c2＝r21＋r22－r1r2.由r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2得r1＝a1＋a2，r2＝a1－a2，∴1e1＋1e2＝a1＋a2c＝r1c.令m＝r21c2＝4r21r21＋r22－r1r2＝41＋r2r12－r2r1＝4r2r1－122＋34，当r2r1＝12时，mmax＝163，∴r1cmax＝433，即1e1＋1e2的最大值为433.答案A4．(2014·福建卷)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆x210＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是()．A．52B.46＋2C．7＋2D.62解析设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝2，点C到椭圆上的点Q(10cosα，sinα)的距离|CQ|＝10cosα2＋sinα－62＝46－9sin2α－12sinα＝50－9sinα＋232≤50＝52，当且仅当sinα＝－23时取等号，所以|PQ|≤|CQ|＋r＝52＋2＝62，即P，Q两点间的最大距离是62，故选D.答案D-3-二、填空题5．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1→·PF2→的最小值为________．解析由已知得A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1→·PF2→＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝4x2－x－5.令f(x)＝4x2－x－5，则f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，函数f(x)取最小值，即PA1→·PF2→取最小值，最小值为－2.答案－26．已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P满足AP→⊥BP→.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是______．解析设P(x，y)，由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)(y－2)＝0，即x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±bax，即bx±ay＝0，由题意，可得2aa2＋b2＞1，即2ac＞1，所以e＝ca＜2，又e＞1，故1＜e＜2.答案(1,2)7．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围为________．解析可知e21＝a2－b2a2＝1－b2a2，e22＝a2＋b2a2＝1＋b2a2，所以e21＋e22＝2＞2e1e2⇒0＜e1e2＜1.答案(0,1)8．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A，B，C，D，则ABCD的值为________．解析由3x－4y＋4＝0，x2＝4y，得x2－3x－4＝0，∴xA＝－1，xD＝4，∴yA＝14，yD＝4.-4-直线3x－4y＋4＝0恰过抛物线的焦点F(0,1)．∴AF＝yA＋1＝54，DF＝yD＋1＝5，∴ABCD＝AF－1DF－1＝116.答案116三、解答题9．(2014·烟台一模)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线x2＝83y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解(1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则b＝23.由ca＝12，a2＝c2＋b2，得a＝4，∴椭圆C的方程为x216＋y212＝1.(2)当∠APQ＝∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，由y－3＝kx－2，x216＋y212＝1，整理得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0，-5-x1＋2＝82k－3k3＋4k2，同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)，可得x2＋2＝－8k－2k－33＋4k2＝8k2k＋33＋4k2，∴x1＋x2＝16k2－123＋4k2，x1－x2＝－48k3＋4k2，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝kx1－2＋3＋kx2－2－3x1－x2＝kx1＋x2－4kx1－x2＝12，所以直线AB的斜率为定值12.10．(2014·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0)，C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M(4,0)的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点．(1)写出抛物线C2的标准方程；(2)求证：以AB为直径的圆过原点；(3)若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．解(1)设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由F(1,0)，得p＝2，∴C2：y2＝4x.(2)可设AB：x＝4＋ny，联立y2＝4x，得y2－4ny－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，x1x2＝y21y2216＝16，-6-∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝0，即以AB为直径的圆过原点．(3)设P(4t2,4t)，则OP的中点(2t2,2t)在直线l上，∴2t2＝4＋2nt，4t4t2＝－n，得n＝±1，又∵t＜0，∴n＝1，直线l：x＝y＋4.设椭圆C1：x2a2＋y2a2－1＝1，与直线l：x＝y＋4联立可得：(2a2－1)y2＋8(a2－1)y－a4＋17a2－16＝0，由Δ≥0，得a≥342，∴长轴长最小值为34.11．(2014·金丽衢十二校联考)如图，过椭圆L的左顶点A(－3,0)和下顶点B(0，－1)且斜率均为k的两直线l1，l2分别交椭圆于C，D，又l1交y轴于M，l2交x轴于N，且CD与MN相交于点P.(1)求椭圆L的标准方程；(2)(ⅰ)证明存在实数λ，使得AM→＝λOP→；(ⅱ)求|OP|的取值范围．解(1)由椭圆L的左顶点为A(－3,0)，下顶点为B(0，－1)可知椭圆L的标准方程为：x29＋y2＝1.(2)(ⅰ)证明由(1)可设直线l1，l2的方程分别为y＝k(x＋3)和y＝kx－1，其中k≠0，则M(0,3k)，N(1k，0)．-7-由y＝kx＋3，x29＋y2＝1，消去x得(1＋9k2)x2＋54k2x＋81k2－9＝0.以上方程必有一根－3，由根与系数的关系可得另一根为3－27k21＋9k2，故点C的坐标为(3－27k21＋9k2，6k1＋9k2)．由y＝kx－1，x29＋y2＝1，消去x得(1＋9k2)x2－18kx＝0，解得一根为18k1＋9k2，故点D的坐标为(18k1＋9k2，9k2－11＋9k2)．由l1与l2平行得MP→＝tMN→，CP→＝tCD→，然后，进行坐标运算，即可得出点P的坐标为31＋3k，3k1＋3k，而AM→＝(3,3k)，OP→＝31＋3k，3k1＋3k.∴AM→＝(1＋3k)OP→，∴存在实数λ＝1＋3k，使得AM→＝λOP→.(ⅱ)由OP→＝31＋3k，3k1＋3k，法一由消参得点P的轨迹方程为x＋3y－3＝0，所以|OP|的最小值为31010；法二得|OP|＝31＋k2|1＋3k|，令t＝1＋3k，则|OP|＝101t2－21t＋1，其中1t≠0,1，∴|OP|的最小值为31010，故|OP|的取值范围为[31010，＋∞)．